不正则簇的几何与拓扑

In recent two decades, great progress was made in the research of irregular varieties. The representative works are Chen-Hacon and Pareschi-Popa's studies of the pluricanonical maps and the adjoint linear systems on irregular varieties. These results show that irregular varieties behave like curves and surfaces. The applicant wants to solve the following problems in three years: (1) Study when the pluricanonical maps of irregular varieties of Albanese fiber dimension 1 induce the Iitaka fibration; (2) Study the birationality of the pluricanonical maps of irregular varieties of Albanese fiber dimension 2 and of general type; (3) Study when the pluricanonical maps of irregular varieties of Albanese fiber dimension 2 induce the Iitaka fibration; (4) Study the Kollar conjecture and fundamental groups of irregular varieties of Albanese fiber dimension 1. The main tools which we will use are the generic vanishing theorem, Fourier-Mukai transform, double covering, fibration, braid monodromy etc. The applicant hopes to do some researches to know more about the geometry and topology of irregular varieties.

不正则簇的研究在最近二十年里有了很大的发展。其中的代表性工作是陈荣凯-Hacon以及Pareschi-Popa对不正则簇上多典范映射以及伴随线性系的研究。这些工作表明不正则簇的几何与曲线和曲面的几何有着很好的类比。本项目计划在研究期限内解决如下问题： （1）研究Albanese映射纤维维数为1的不正则簇的多典范映射何时诱导Iitaka纤维化； （2）研究Albanese映射纤维维数为2的一般型不正则簇的多典范映射的双有理性； （3）研究Albanese映射纤维维数为2的不正则簇的多典范映射何时诱导Iitaka纤维化； （4）研究Albanese映射纤维维数为1的不正则簇的Kollar猜想和基本群。 主要研究方法包括一般消失定理、Fourier-Mukai 变换、二次覆盖、纤维化方法以及辫单值技巧等。申请人希望通过更深入的研究，对不正则簇的几何和拓扑有深入的理解。

本项目主要研究了Albanese纤维维数为1或2的不正则簇的双有理性质。我们对这类簇的典范层上同调支集以及多典范映射的研究取得了重要成果和进展。改进了前人已有的结果。本项目还研究了正特征代数曲面纤维化的斜率不等式，以及Bridgeland稳定条件在代数几何中的一些应用。