Bridgeland稳定条件及其应用

Since Bridgeland's introduction of stability conditions on triangulated categories, stability conditions have drawn an increasing amount of interest from various perspectives. One of the fundamental problems in the study of Bridgeland stability conditions is to construct stability conditions on algebraic varieties and investigate the moduli of stable objects. A conjectural approach to study this problem is to prove a Bogomolov-Gieseker type inequality for certain tilt-stable complexes. The applicant wants to solve the following problems:.(1) Constructing Bridgeland stability conditions on three dimensional irregular varieties;.(2) Study Bogomolov-Gieseker type inequalities on threefolds;.(3) Study the restriction of a stable object;.(4) Study the extension of linear systems on a curve in a threefold;.(5) Study the moduli space of some stable objects on surfaces..The applicant hopes to do some researches to know more about Bridgeland.stability conditions.

自从Bridgeland于2002年提出三角化范畴上的稳定性条件这一概念之后，稳定性条件立刻引起了不同领域的数学家们的极大兴趣。这个领域的一个基本问题是构造代数簇的导出范畴上的Bridgeland稳定性条件并研究其稳定对象的模空间。研究这个问题的一个猜想的途径是建立tilt-稳定复形的Bogomolov-Gieseker 型不等式。本项目主要解决如下问题：.（1）构造三维不正则簇上的Bridgeland稳定性条件；.（2）研究三维代数簇的Bogomolov-Gieseker 型不等式；.（3）研究稳定对象限制在超曲面上是否稳定的问题；.（4）利用已知的某些三维代数簇上的Bogomolov-Gieseker型不等式研究该簇上曲线的线.性系的扩张问题；.（5）研究曲面上某些稳定复形构成的模空间。.申请人希望通过更深入的研究，对Bridgeland稳定性条件有更深入的理解。

自从Bridgeland于2002年提出三角化范畴上的稳定性条件这一概念之后，稳定性条件立刻引起了不同领域的数学家们的极大兴趣。本项目主要研究了稳定条件在代数几何正性问题上的应用以及代数簇上稳定条件的存在性问题。我们利用稳定条件给出了曲面上无扰层的有效Serre消失定理，以及三维射影空间上斜率稳定层的陈类不等式。我们在正特征乘积型代数曲面上证明了Bogomolov不等式，作为推论我们得到这类曲面上稳定条件的存在性，我们还证明了任意特征下第一和第二陈类都为零且切丛半稳定的三维簇上的Bayer-Macri-Toda猜想，从而在这类簇上构造出了稳定条件。