结构空间与代数簇的几何拓扑

This project will focus on some problems in geometric topology related to deformation spaces of geometric structures on low-dimensional manifolds, which include the connectivity of Bowditch set of SL(2,C) characters of a once-punctured torus, the ergodicity of the actions of the mapping class group on the non-extremal components of PSL(2, R) characters of a surface and a related problem of Bowditch, a minimizing problem of a once-punctured torus over its fixed relative Teichmuller space and its relation with lens spaces, the action of automorphisms of an algebraic variety defined by a symmetric polynomial, the notion of a relatively discrete group and its fundamental properties, and Atiyah's linear independence conjecture. We hope that the research of this project will bring in useful new ideas and results, and inspire further research work.

本项目研究与低维流形的几何结构形变空间相关的一些几何拓扑问题，具体地，包括穿孔环面的SL(2,C)特征标簇的Bowditch集合的连通性，映射类群在曲面的PSL(2,R)特征标簇的非极端分支上作用的遍历性及相关的Bowditch问题，穿孔环面在相对Teichmuller空间中的一个极小化问题及与透镜空间的联系，由对称多项式所定义的代数簇的自同构群在该代数簇上的作用，相对离散群概念的建立与基本性质，Atiyah的线性无关性猜测等。本项目的研究有希望带来有意义的新想法与研究结果，并引发进一步的研究工作。

本项目研究双曲曲面几何结构的形变空间及相关的几何拓扑问题。具体研究内容包括：穿孔双曲环面上的两条等长的简单闭测地线的长度在相对Teichmuller空间上所取得的最小值，及具有相同相交数但不拓扑等价的曲线对所决定的最小长度的比较问题；由Markoff-Hurwitz多项式所定义的复代数簇的自同构群在该代数簇上的作用的间断域及域内的点的轨道的几何性质；双曲几何版本的Atiyah线性无关性猜测；最对称的穿孔双曲环面上的简单闭测地线长度的排序问题等。取得的成果包括：对于穿孔双曲环面上的两条等长的简单闭测地线的长度在相对Teichmuller空间上的最小值，证明了在渐近退化情形，斜率对{1/0,1/n}的最小相等长度小于任何拓扑不等价的斜率对{1/0,m/n}的最小相等长度，从而取得了关于这个问题的本质进展；确定了n(≥3)个Z_2的自由积群在复空间C^n上的保持Markoff-Hurwitz多项式不变的多项式作用的间断域，并对于间断域内的点的轨道得到新的恒等式；对于共面四点证明了双曲几何版本的Atiyah线性无关性猜测；关于最对称的穿孔双曲环面上的简单闭测地线长度的排序问题，证明了长度关于斜率的部分单调性，作为特殊情形给出Markoff数的类似猜测性质。这些研究结果为相关课题带来了新想法与新研究问题。