可压缩欧拉方程的拟定常跨声流动

Nature shows us a large number of nonlinear phenomena, such as shock waves and vortex in compressible flow, detonation waves in combustion explosion and congestion in traffic flow, etc. Wherever they appear, the disasters happen.The law of motion can be governed by the compressible Euler equations.It has important theoretical and practical significance.This project aims at to study the mathematical theory of pseudo steady flow (selfsimilar flow in unsteady flow): two-dimensional Riemann problem for the compressible Euler equations and the interaction of the elementary waves in pseudo steady flow, shock reflection and combustion problems in gas dynamics. By use of the generalized characteristic analysis method and characteristic decomposition method, etc., we will specifically study semi-hyperbolic patches, shock reflection patterns and supersonic bubbles, etc. Oblique derivative free boundary value problems of elliptic equations in transonic flow will be studied. And the existence and smoothness of the solution in the subsonic region may be determined. It will result the global solution of the mixed type problems in two-dimensional self-similar Euler equations. By numerical simulation, using numerical generalized characteristic analysis method and the numerical analysis, we may get an intuitive basis and inspiration for the theoretical proof. Gradually building in a mathematical theory of pseudo transonic flow. We will study the Riemann problems, ignition problems and transition from deflagration to detonation problems for the ZND model and CJ model in gas dynamic combustion. We will explore the intrinsic laws of natural phenomena, and develop the mathematical theory of pseudo steady flow on these issues.

自然界中呈现出大量的非线性现象，如：可压缩流体流动中激波、漩涡，燃烧爆炸形成的爆轰波以及交通流中的交通阻塞等。这些非线性现象往往伴随着灾难的发生，其运动规律可用可压Euler方程组来描述。对它的研究具有重要的理论和实际意义。本项目旨在研究拟定常流(非定常流的自相似流动)的数学理论：二维可压Euler方程组的Riemann问题及基本波的相互作用、激波反射问题，以及气体动力学燃烧问题等。运用广义特征分析、特征分解等方法，研究半双曲结构、激波反射结构、超声泡等基本结构，研究跨声流中的斜导数自由边界混合型问题，确定解在亚声区的存在和光滑性，从而得到自相似Euler方程混合型问题的整体解。运用数值广义特征分析方法，进行数值分析，为理论证明提供直观依据和启发。研究二维气体燃烧的ZND模型及CJ模型的Riemann问题、点火问题及爆燃波向爆轰波转化问题等。探索自然现象的内在规律，丰富拟定常流的数学理论。

自然界中呈现出大量的非线性现象，其运动规律可用可压Euler方程组来描述。本项目研究可压缩拟定常跨声流动的数学理论:二维可压Euler方程组的相关问题。目前已取得如下成果：通过基本波的相互作用，构造出几类二维可压流Chaplygin气体Euler方程组Riemann问题的整体分片光滑解（SIAM J. APPL . MATH（76( 6), 2016）；构造性地得到了二维等熵无旋定常流、拟定常流Euler方程Guderley Mach反射的一种现象中心波泡整体解的存在性（J. Math. Pures Appl.，104 (9)，2015；J. Hyper. Diff. Equ., 13(1), 2016）；给出了一个拟线性双曲型方程组存在特征分解较为广泛的充分条件,这一特征分解将已有著名结果推广到非自治的方程。在这一充分条件下，在已知曲线旁，构造出了非直特征线的简单波解（Math. Meth. Appl. Sci. 38 (8),2015）;广义Chaplygin气体Euler方程组Riemann问题 的极限解，当压力消失时, 广义Chaplygin 气体Euler方程组Riemann问题的极限解趋于零压流Euler方程组的Riemann解(Nonlinear Analysis: RWA, 22,2015);相对论流体力学方程组的含有激波和接触间断的Riemann解的极限为零压流相对论Euler 方程的Delta波解和真空（Z. Angew. Math. Mech., 95(1), 2015）；将二维超音速流绕过拐角并向真空扩散问题转化为一个中心稀疏波和一个后向平面稀疏波的相互作用，在数学上归结为二维自相似可压缩Euler方程的一个Goursat问题，利用特征分解和不变区域的方法得到了相互作用区域的整体解（J. Math. Pures Appl.，2018）。.本项目获得上海市自然科学二等奖。本获奖项目建立二维非线性双曲守恒律方程组的数学理论和先进有效的数值方法。主要科学发现为通过研究二维可压流Euler方程组的Riemann问题，发展并利用广义特征分析方法、数值广义特征分析方法，逐步建立完善高维非线性双曲守恒律方程组数学理论。通过对流体力学数值模拟的研究，发明了基于守恒性质的间断跟踪法，比传统的间断跟踪法简单、有更好的稳定性和强健性。