带阻尼项的非等熵可压缩欧拉方程组的研究

本项目研究带阻尼项的非等熵多维可压缩欧拉方程组。研究其初值问题和初边值问题，阻尼项分线性阻尼和非线性阻尼等情形，以及区域分有界区域和无界区域，初始数据是在常状态附近的扰动或是含真空的情形。我们将研究在一定条件下其经典解会整体存在，此时还研究经典解在大时间的衰减估计；以及研究它在何种条件下的经典解会爆破。将结果与等熵情形进行比较，分析熵所起的作用。通过对带阻尼项的可压缩欧拉方程组在两种问题，即真空问题和非真空问题的研究，特别是阻尼项对于经典解的整体存在性、衰减性等性质方面的作用进行比较，来揭示阻尼项对于方程组的经典解的整体存在性方面的作用是正面作用还是负面作用。可压缩欧拉方程组（不论是否带阻尼项）是可压缩流体力学中的重要的方程组，一直是人们研究非线性偏微分方程的一个重要的数学模型，其研究不仅有重要的数学理论上的意义，而且通过对它的研究还可以帮助人们加深对相关物理规律、力学定律的理解。

可压缩欧拉方程组（不论是否带阻尼项）是可压缩流体力学中的重要方程组，一直是人们研究非线性偏微分方程的一个重要的数学模型，其研究不仅有重要的数学理论上的意义，而且通过对它的研究还可以帮助人们加深对相关物理规律的理解。本项目研究带阻尼项的非等熵多维可压缩欧拉方程组就是基于这个考虑。我们主要研究其初值问题以及初边值问题经典解的爆破和经典解的整体存在性。研究经典解的爆破方面得到了比较丰富的成果，既有真空问题的，也有不含真空的情形，有关于初值问题的，也有关于初边值问题的。其中有标志性的成果，就是我们把1985年由T. C. Sideris得到的此领域的经典结论大大地推广了。三十年来，非等熵可压缩欧拉方程组经典解的爆破的研究只有小的进步，有一个条件一直是没有办法去掉的。我们在去掉了经典结论中的一个条件后，当关于初始动量的泛函足够大时，经典解就会在某一时刻之前爆破。我们的结论表明，原来不可逾越的那个条件，就不是本质的，而只有技术性的。我们的结果得到了PDE领域的知名专家的高度肯定，说长期以来预期的那个结论被证实了。另外我们还在证明经典解的爆破方面有其他突破，主要是新的泛函的构造方面。不过，在经典解的整体存在性研究方面没有达到预期目的，转而研究了一些等熵欧拉方程组的经典解的整体存在性，得到了一些成果。