多维可压缩欧拉方程的自相似解

本项目研究多维可压缩欧拉方程以及相关数学模型自相似解的数学理论以及它们所刻画的各种非线性现象。两维黎曼问题中波的相互作用是我们研究的首要目标, 此相互作用中涉及混合型方程(组)的求解，以及从压缩波中产生激波等主要困难。最典型的情况是简单波相互作用产生的跨音速冲击波、激波反射（正规或马赫反射）和多个接触间断相互作用形成的涡流。除了为了处理角点和相互作用点附近解的性质而使用包含有奇点的Sobolev空间函数论的方法外，还将使用数值模拟，渐进分析和广义特征分析方法。

围绕多维欧拉方程的自相似解开展工作，取得了一些进展，比较满意地完成了项目申请时的既定目标。在人才培养和学术交流方面也作了一些工作。（1）欧拉方程组的两维黎曼问题。 以可压缩欧拉方程的两维黎曼问题为出发点，研究了平面稀疏波的相互作用，构造了双对称的平面稀疏波的相互作用而产生的整体分片光滑解， 这是第一次给出一类两维黎曼问题的整体解；发展了直接的特征分解方法，为了进一步研究跨音流问题提供了理论铺垫；证明了一类非经典半双曲问题解的存在性和正则性，得出了解在音速线附近的一致Holder估计；用自适应的GRP格式非常仔细模拟了两维黎曼解中每种可能的情况，给出了较以往更为完整的结果。（2）广义黎曼问题(GRP)格式。本项目在以往研究的基础上，继续发展广义黎曼问题(GRP)格式，把时空二阶的广义黎曼解子器和自适应移动网格技术相结合，发展了自适应GRP格式；同时把标准的（GRP solver）广义黎曼解子器和现在广泛使用的GKS方法相比较，证明了广义黎曼问题解子器的健壮性（robustness）和高分辨率，为很好模拟两维黎曼问题提供了支撑。（3）守恒性数值格式局部震荡分析。仔细分析了不同Fourier模式的波引起数值震荡的机理，发现了通常的人工粘性不足以抑制高频波引起的局部数值震荡。通过对高频震荡模式的修正方程研究，发现数值阻尼对抑制高频震荡是至关重要的，并证明了传统的单调格式不会放大高频模式。（4） 相场方程的分析。用变量分离方法，构造了相场中一类Oldroyd-B 模型的显示解，利用之可以研究解的爆破现象；另外用粘性消失法证明了耦合的 Navier–Stokes/Allen-Cahn解的局部存在性。 . 在基金项目的资助下，发表SCI论文8篇，一篇一般学术论文， 待发表3篇。在学术交流方面，参加了一系列学术会议，访问了三所国外大学，邀请了多名国外同行来合作研究。在人才培养培养了博士生两名，硕士生1名。