可压缩欧拉方程组弱解的一些研究

The Euler system is one of the most important example of hyperbolic conservation laws. The theory of weak solutions to the Euler system describe many physical phenomenon such as shock waves. Its study has lots of implications for mathematical theory, computations and real world applications..This project proposes to study the weak solutions of the multi-dimensional Euler system, focusing in the uniqueness of weak solutions and related questions. Through the study of weak solutions in function spaces of Holder continuity and bounded variations, and the investigation of the fine properties of weak solutions, we expect to investigate suitable admissibility criterion for weak solutions, and gain insights into the theory of the multi-dimensional Euler system and conservation laws.

欧拉方程作为典型的双曲守恒律系统，它的弱解理论能描述激波等重要的物理现象，其研究在数学理论、计算与应用等领域都有重大的意义。. 本项目从数学角度考察高维欧拉方程的弱解理论，主要关注唯一性的相关问题。通过考察Holder连续空间、有界变差空间下弱解的唯一性，以及对弱解精细结构的研究，我们期望探寻合适的弱解框架与可容许条件，更深入地理解高维欧拉方程与双曲守恒律理论。

大雷诺数背景的流体力学问题在物理和工程领域具有广泛的应用，其流体动力学部分由纳维尔斯托克斯方程表述，奇异极限形式上归结为可压缩欧拉方程组，相关系统弱解理论与湍流、激波等重要的物理现象紧密相关。我们针对包括可压缩欧拉方程组、分数阶粘性的纳维尔斯托克斯方程、边界层、Boussinesq 等相关系统的弱解理论进行了深入研究，主要集中于弱解的非唯一性问题。首先我们研究了三维普朗特边界层系统，证明了 Holder 弱解的非唯一性；其次，我们研究了分数阶粘性的纳维尔斯托克斯方程，证明了二维和三维粘性次临界指标下弱解的非唯一性；我们考虑温度耗散的 Boussinesq 系统，证明了 弱解的非唯一性。