分数阶扩散方程反向问题的正则化理论与算法研究

The current research of ill-posed problem is to recover the continuous dependence on the data for the solution, which is the core and mainstream, and its theory is based on the regularization. However, each kind of the regularization method in dealing with specific problem has its limits, it is difficult to find a universal method to solve all the problems. The aims of this project is to obtain the optimal analysis, construct the optimal and iterative regularization methods, and give the posterior parameter selection rules for the backward problem in fractional diffusion equation. The focus of the project is to propose the iterative regularization method, and establish the theoretical estimation and provide effective algorithm. We will study the backward problem of the fractional diffusion equation is gradually deepening, especially in high dimension, variable coefficient and contains nonlinear term strives for breakthrough.

当前不适定问题研究的核心和主流是恢复解对数据的连续依赖性，其理论基础是正则化。然而每一种正则化方法在处理具体问题中总有它的优点和不足，很难找到一种万能的方法去解决所有的问题。本项目对分数阶扩散方程反向问题进行研究，给出最优性分析结果、最优正则化方法和迭代型正则化方法，结合基于误差界的偏差原理、平衡性法则、单调差法则等后验参数选取法则，给出不同的构造策略和证明方法，建立完善的理论估计和提供稳定高效的数值算法。项目的重点是提出构造的迭代型正则化方法，给出先验和后验的误差估计，特别是在高维数、变系数上的有所突破。

正则化方法是不适定问题研究中恢复解对数据连续依赖性的理论工具，在不适定问题研究中占有极其关键的地位。本课题考虑在粘弹性材料、分形动力学，反常扩散等领域有着广泛应用的分数阶微积分反问题，然而分数阶微算子属于拟微分算子（它具有非局部性质）, 这就给数值求解带来困难。本项目从理论和应用层面较为系统的研究了分数阶扩散方程反问题，并取得了一些成果。（1）给出分数阶扩散方程反问题在Hölder 型源条件下的最优性分析和最优正则化方法，所得结果发表在《Bulletin of the Iranian mathematical society》上；（2）对几类经典不适定问题进行研究，将它们在频域空间中解的表达式进行分析和总结，把原问题转化为拟微分算子的数值计算问题，分数阶扩散方程反向问题可以归结为第二类拟微分算子的数值计算。项目研究中，我们建立 Meyer 小波正则化方法的一般理论，并将一般理论应用到具体的不适定问题，所得结果发表在《Applied Mathematical Modelling》上；（3）对于分数阶扩散方程反向问题的研究，较少有文献给出最优的逼近结果，且涉及方法都是非迭代型方法。我们给出迭代正则化方法求解问题，给出两种参数选取的构造策略和证明方法，均得到Holder型误差估计并加以数值实现，该结果已投出，并作了题为“Regularization methods for the backward problem in fractional diffusion equation”学术报告。