时间分数阶扩散方程的扩散系数反演问题研究

When modeling anomalous diffusion phenomenonIn with time fractional diffusion equations (TFDE), we need to determine the unknown parameters in the equations. This project aims to study numerical algorithms and theory for the diffusion coefficient inversion problem of the TFDE...The research includes the following several aspects: using the augmented Lagrangian approach and conjugacy of left and right fractional order derivatives to study the gradient iteration algorithms for the diffusion coefficient inversion problem, design finite element scheme, establish convergence theory, and further construct the adaptive algorithm；using the weighted iterative least squares method and convex optimization theory to reconstruct sparsely the compactly supported and the piecewise constant diffusion coefficients; using the Reznitskaya integral transform and Carleman estimate to study the uniqueness of the diffusion coefficient inversion problem...The innovations of the project is as follows. We propose the solving framework for diffusion coefficient inversion problem of TFDE and extend and apply it to sparse reconstruction of diffusion coefficient. We will try to develop a unified framework for uniqueness of coefficient inversion problems. ..This research provides methodological and theoretical support for the determination of parameters in the modeling of anomalous diffusion phenomen and can help to reveal the anomalous diffusion mechanism, the influence of various physical parameters on the diffusion phenomenon, so as to provide the basis for better simulation of anomalous diffusion phenomenon.

在用时间分数阶扩散方程(TFDE)对反常扩散现象进行建模时，需要确定方程中各种未知参数。本项目将围绕TFDE中扩散系数的反演展开算法和理论方面的研究。.内容包括：利用增广Lagrange方法和分数阶左右导数共轭性研究扩散系数反演问题的梯度型迭代算法，设计有限元格式，建立收敛性理论，并进一步构造自适应算法；利用加权迭代最小二乘法和凸优化理论研究具有紧支集或分片常数的扩散系数的稀疏重构；利用Reznitskaya积分变换和Carleman估计研究TFDE中扩散系数反演问题的唯一性。.创新工作是：提出TFDE中扩散系数反演问题的求解框架并将其推广到扩散系数稀疏重构问题；探索建立TFDE中系数反演问题唯一性证明的统一框架。.本项目的研究一方面将为反常扩散现象建模中参数的确定提供方法和理论支撑，另一方面将有助于更好地揭示反常扩散机理，以及各物理参数对扩散的影响，从而为更好地模拟反常扩散现象提供依据。

在用分数阶微分方程对反常扩散现象进行建模时，需要确定方程中各种未知参数，包括耗散系数、初值、源项、Robin系数等。本项目围绕分数阶微分方程的正问题和反问题展开算法和理论方面的研究。.针对带Robin条件的分数阶扩散方程，通过合适的选取时空分数次Sobolev空间，结合Lax-Milgram定理，我们给出了正问题的适定性。利用Caputo导数的特性，我们也证明了利用非局部边界条件反演Robin系数的唯一性，并利用修正的拟牛顿算法给出了反演迭代格式。针对时间分数阶微分方程解在初值处的奇异性，我们提出了一种有效的光滑变换思想，从而提高了变换后解的正则性。对变换后的方程，在时空方向均采用谱方法，以获取两个方向的谱精度。数值结果表明，该方法非常有效，与已有的结果比较，精度得到明显提高。针对耦合的非线性空间分数阶薛定谔方程组，通过分析差分离散得到的系数矩阵，我们提出一种保结构的循环预处理子。预处理后的矩阵谱呈现明显的聚集现象，迭代收敛速度明显加快。.针对三维一般区域上空间分数阶微分方程，基于射线单纯形相交方法，我们设计了有效地搜索积分路径的方法。在此基础上，给出了每段积分路径上非零函数在Guass点处的分数阶导数的显式计算公式，从而实现了单元刚度矩阵的计算。针对线性不适定方程 ，我们提出一种新的Chebyshev型滤子，结合后验参数选取方法的正则化方法，并在不同先验界假设下，证明了该方法的收敛性和收敛阶。针对分数阶反源问题，我们提出一种简单有效的迭代算法。我们在理论上证明了该算法是稳定且收敛的。.总之，我们完成了分数阶微分方程正问题的有限元、有限差分、谱方法等离散方法的研究，也完成了分数阶扩散问题反源问题、反Robin系数等问题的研究工作。基于这些工作，共发表SCI论文8篇。.本项目的研究一方面将为反常扩散现象建模中参数的确定提供方法和理论支撑，另一方面将有助于更好地揭示反常扩散机理，以及各物理参数对扩散的影响，从而为更好地模拟反常扩散现象提供依据。.