算子在交换图中的分类

Classification is a fundamental problem in mathematics. Many important results concerning the classification of operators on Hilbert spaces have been obtained. For instance, Jordan canonical form theorem provides a complete similarity classification for operators on a finite dimensional Hilbert space. On the other hand, it is very difficult to obtain complete similarity invariant of operators on an infinite dimensional separable Hilbert space. People also consider other classifications of operators, such as asymptotic similarity. Commutativity is an important relation in operator theory. One can get many informations about the property of an operator by studying its commutant. We will consider a equivalence relation on the set of nonscalar operators which is defined in the sense of commutativity, and we shall describe distinct equivalence classes in this set。It provides a new way to classify the operators. This method has been successfully used in studying groups, rings and other algebraic objects.

分类问题是核心数学的基本问题之一，关于Hilbert空间上有界线性算子的分类问题已取得许多重要进展。例如，Jordan标准型定理给出了有限维空间上算子在相似意义下的完整分类。在无穷维空间中，给出算子在相似意义下分类的完整刻画是非常困难的。因此，人们致力于研究其他弱化的分类，如渐近相似等。交换性是算子理论的重要研究对象，例如刻画算子的换位代数可以很好地了解算子本身的性质和结构。我们将考虑非数乘算子集合在交换意义下定义的一种等价关系，并尝试刻画具体有多少等价类。这为算子分类提供了新的研究思路。这种研究方法在群，环以及其他代数学的研究对象中已经有很好的应用。

本项目主要基于Ambrozie等的一篇文章，我们考察了B(H)中非数乘算子在交换关系下构成的图，其中H是可分无穷维Hilbert空间。我们构造了更多与一秩算子连通的例子，如经典Volterra算子、非强不可约算子以及算子权移位等，这推广了Ambrozie等的结论。进一步，我们证明了算子在交换图意义下有无穷多分支。下一步，我们将给出全部分支的刻画。我们证明了到给定算子在图中距离为2的集合可写成可数闭集的并。. 此外，我们还研究了B(H)中的逼近问题。Polaroid性质在算子理论中非常重要，经常作为研究Weyl型定理的条件。我们考察了polaroid型性质的逼近问题。进一步，我们还研究了polaroid型性质在小紧扰动下的稳定性。该文已在Studia Math.发表。另一方面，我们还研究了由半格分次的Hilbert C*-模。我们研究了这种Hilbert C*-模和齐次子空间的关系，研究了分次Hilbert C*-模在张量积和叉积下的稳定性。该文已发表在J. Math. Phys.。