算子代数中的逼近问题

Due to Halmos’ famous article “Ten problems in Hilbert space”, there are many important results on approximation of Hilbert space operators in last four decades. Many experts consider such problems and provide more general arguments to deal with approximation problems related to subsets of all operators on a complex separable infinite dimensional Hilbert space. Approximation problems in operator algebras are important and new attempts. We shall consider such problems in C* algebras and von Neumann algebras, which will generalize related results in operator theory. In particular, we will describe closures of some special subsets of C* algebras, such as nilpotent elements, similarity orbits of a normal element and algebraic elements. We shall compute the distance of special subsets of von Neumann algebras, such as subset of all nilpotent elements and subset of nonzero orthogonal projections. Also, we shall consider approximation problem in C* algebras generated by a single operator. Some important techniques in operator theory will play a important role in this aspect. It provides a new way to study operator algebras.

自数学家Halmos 的著名综述文章“Ten problems in Hilbert space”发表以来, 在过去的四十年里算子逼近方面出现许多重要结果。许多学者考虑过这些问题并进一步发展可分无穷维Hilbert空间上算子逼近理论。在一般算子代数中考察逼近问题将是全新的尝试。我们将在C*代数和von Neumann 代数中考虑逼近问题，并试图将算子理论中的经典结论推广到算子代数中。特别地，我们将刻画C*代数中特殊元素构成集合的闭包，例如全体幂零元，正规元的相似轨道以及全体代数元。我们还将计算von Neumann 代数中特殊集合之间的距离，如幂零元集合和非零正交射影集合。进一步，我们还要考查单生成的C*代数中的逼近问题，算子理论中的一些技巧将发挥重要作用。这将为算子代数的研究提供新的思路。

自从Halmos的文章“Ten problems in Hilbert space”发表以来，关于Hilbert空间上算子逼近产生许多重要工作。著名的Weyl-von Neumann 定理表明每个正规算子均可经任意小的紧扰动变为对角算子。Voiculescu得到了非交换的Weyl-von Neumann定理，这在C*代数和算子理论领域有非常深刻的应用。利用本性谱和指标的语言，Herrero等刻画了一些算子类的范数闭包。另外，在无穷维空间上很难给出算子在相似下的完全分类，所以其他学者考虑近似相似问题。然而，在一般C*代数中考虑逼近问题的较少。在本项目中，我们在C*代数框架下研究了一系列逼近问题。. 在项目执行期间，首先，我们研究了复对称算子相关问题。我们证明了任意两个正交射影的乘积是复对称的，我们将进一步研究有限个正交射影乘积的复对称性。除此之外，我们还证明了在维数大于等于3的有限维空间上任何算子可通过任意小的扰动变为不是复对称的。这一结论的无穷维情形由申请人和其他合作者证明，证明用到了算子的本性谱。但在有限维空间上证明会更加困难，需要复杂的计算。. 其次，我们考虑了算子正交性质的逼近问题。利用谱和Fredholm指标的语言，我们刻画了那些可通过任意小的紧扰动变为具有正交性质的算子；刻画了那些可通过任意小紧扰动变为不具有正交性质的算子；我们还研究了正交性质在解析函数演算下的稳定性。. 再次，我们研究了几乎反交换自伴矩阵逼近问题。有学者证明了几乎反交换的自伴矩阵对可由反交换的自伴矩阵对一致逼近，与维数无关。我们尝试给出这一问题的量化估计，目前我们得到了反交换自伴矩阵版本的Davidson扩张定理，这是给出量化估计的重要一步。. 第四，我们给出了一大类AH代数的exponential length的估计。当A是实秩不为零且具有维数增长缓慢条件的AH代数时，A的exponential length 为2\pi。我们还证明了Jiang-Su代数Z的exponential length 为2\pi。. 最后，我们研究了循环上同调和极小唯一遍历动力系统。利用光滑叉积代数和循环上同调，我们给出了光滑动力系统的分类。. 总之，我们研究了B(H)和一些AH代数中的上述逼近问题。我们还将考虑ASH代数和其他C*代数中的其他逼近问题。