若干复杂矩阵函数和矩阵方程以及矩阵不等式的研究

We investigate multivariate matrix functions and quadratic matrix function. We study the extreme ranks and the inertias of them, respectively. By the inertia, we investigate the following. We seek the existence of the maximal and the minimal matrix of the matrix function. Moreover, if the extreme matrices exist, we give the expressions of them. Then we apply the extreme matrices into the stableness of the matrix functions and the stableness of some given systems. And we give the solutions to the matrix inequalities and the matrix system mixed with matrix equalities and inequalities，solving the restricted problems posed in system and control theory. The compression solutions, the unitary solutions and other symmetric solutions to linear matrix equations are also given. By the rank, we study as the follows. We give the necessary and sufficient conditions for the solvability to the system of linear matrix equations. Moreover, we give the containing and interacting relations between the matrix function sets. The relations can be further to applied into characterizing the distribution of the solutions of the matrix equations and the matrix inequalities or the relations between the matrix function set and the reflective inverse of a given matrix. At last, to make the above theories above to be practicable, we design algorithm to solve some special quadratic matrix equation or matrix inequalities..

本课题研究多元矩阵函数和二次矩阵函数，分别研究其最秩和极惯性指数。. 根据极惯性指数研究：矩阵函数极大矩阵和极小矩阵的存在性，若极矩阵存在，进一步给出极矩阵的表达，利用极大矩阵与极小矩阵，研究矩阵函数的稳定性和系统的稳定性；给出矩阵不等式组的解或混合型矩阵系统的解，解决系统与控制论的相关不等式限制问题；给出线性方程组的压缩解和酉解。. 根据最秩研究：矩阵方程组有线性解的充要条件以及解的表达；给出矩阵函数集合之间的相交关系和包含关系，进一步刻画矩阵方程组以及不等式组的解集之间的分布，矩阵函数集合与给定矩阵的反射逆之间的关系。最后，为使上述理论更加完善和实用，再设计出可行的算法，用来计算某些特殊的二次矩阵方程或矩阵不等式。

随着统计学科和其他学科的发展, 更多的参数，变量和限制条件都会涉及到，一般而言，更多的限制条件可以转化为矩阵方程，因而多变量多参数的矩阵研究是必要的。然而，每一次参数矩阵的增加或者未定元的增加都会加大解方程组的难度。我们课题主要研究的是Sylvester方程组。.我们知道，系统与控制论中的许多问题最后都划归成Sylvester方程的求解问题。在实际中，Sylvester矩阵方程有很多应用，例如在反馈控制, 鲁棒控制，极点/特征结构配置设计，神经网络等等。. Roth在1952年给出了广义Sylvester矩阵方程相容的一个充分必要条件。 Bakasalary和Kala [1]在1979年才用广义逆给出了广义Sylvester矩阵方程(1.1) 的通解表达式。最近几年，国内外一些学者研究了广义混合Sylvester矩阵方程组。Lee和Vu研究了一些广义混合Sylvester矩阵方程组的相容性。他们给出了广义混合Sylvester矩阵方程组相容的充分必要条件。王卿文和何卓衡给出了这种广义混合Sylvester 矩阵方程组相容的可计算的充分必要条件，以及通解表达式。我们主要研究了一个未定元更多，参数矩阵也更为复杂的广义Sylvester矩阵方程，注意到Roth给出的方程组和王卿文教授给出的矩阵方程组 都可以看成我们研究的矩阵方程组 的特殊情况。我们用Moore-Penrose逆给出这类受限的广义Sylvester矩阵方程相容的充分必要条件，以及通解表达式。事实上，研究这种更为复杂的矩阵方程组，不仅有助于解决多维多参数的矩阵方程组，也可以用于研究特殊的厄米特矩阵方程组，而以前的矩阵方程组没办法解决这个问题。