变分方法与脉冲微分系统周期解及同宿轨研究

Variational method is an important and basic method for nonlinear analysis,which has extensive and important application in many fields of Mathematics and Physics. Impulsive differential system is a branch with practical background of research fields in differential equations.In recent years, Domestic and foreign scholars are working on using variational method to study the existence of solutions for impulsive differential systems and get some meaningful new achivemets. However, there are still many important and difficult problems needing to be explored and studied further,such as multiplity of solution,periodic solutions and homoclinic orbits and so on. At the same time, there are still intrinsical difficulty and complexity for concrete problems in studying impulsive differential equations with variational methods.Therfore, research on impulsive differential systems theory,conversely,give impetus to extensive study on variational method.This project explores to develop and apply variational method to study the qualitative properties of impulsive differential systems.By developing and applying variational method (such as critical point theory), we will seek the variational framework of impulsive differential systems and study the existence and multiplity of solutions and periodic solutions and homoclinic orbits for impulsive differential systems(including imlusive Hamilton system).The innovational method and results from this research will enrich greatly variational theory and impulsive differential system theory and promote the development of relative subjects.

变分方法是非线性分析中一种重要的基本方法，它在数理学科的许多领域都有重要且广泛的应用。脉冲微分系统是微分方程研究领域中有重要实际背景的分支。近年来，国内外学者探索应用变分方法研究脉冲微分系统解的存在性，取得了一些有重要意义的新成果。然而，关于脉冲微分系统解的理论仍有许多有待研究和探索的重要的困难的问题，如解的多重性、周期解与同宿轨等。同时，在应用变分方法研究脉冲微分方程时，对于具体问题本质的困难和复杂性依然存在，故而，对脉冲微分系统理论的研究又反过来必然推动对变分方法研究的深入。本项目探索发展和运用变分方法研究脉冲微分系统的定性性质。通过发展和运用变分方法（如临界点理论等），探求脉冲微分系统变分框架，研究脉冲微分系统（包括脉冲 Hamilton系统）解的存在性、多重性以及周期解与同宿轨。由此而产生的方法和结果的创新将不仅极大地丰富变分理论与脉冲微分系统理论，而且将促进相关学科的发展。

本项目发展和运用变分方法研究脉冲微分系统周期解与同宿轨的存在性及解的多重性，完整构建了脉冲微分方程的变分框架，系统解决了运用变分理论研究脉冲微分方程解的存在性时的一些关键理论和技术难题，如空间选择、能量泛函估计等，得到了一系列运用通常拓扑方法所无法获得的新结果。在二阶、高阶及p-Laplacian 脉冲微分系统脉冲产生的周期解和同宿解、带脉冲效应的二阶、四阶及高阶奇异微分系统的周期解和同宿解、特殊脉冲效应（障碍）的二阶与p-Laplacian 微分系统的周期解、二阶脉冲 Hamilton 系统的周期解和同宿解、具共振的二阶脉冲微分方程三点边值问题多解性、具脉冲条件的二阶泛函微分方程周期边值问题解的存在性、具阻滞的非线性脉冲微分方程的Dirichlet边值问题解的存在生与多解性的研究，取得了较好的研究成果，已撰写发表论文多篇。变分方法与脉冲微分方程理论的研究是非线性分析与微分方程定性理论及其应用研究的重要课题。近年来，国内外学者围绕变分方法与脉冲微分方程解的存在性及性态的研究做了大量工作，特别是美国、英国、法国及西班牙等国学者在变分方法与微分方程（包括偏微分方程）的理论和应用研究方面很活跃。本项目的研究成果对于微分方程与动力系统的理论创新及应用研究乃至相关学科的发展(如控制论、数学生态学等的研究)均具有极其重要的意义。