多体问题的周期解、中心构型及同宿轨

N-body problems have been the common base of all branches in celestial mechanics for a large number of outstanding research results, and produce many new branches and ideas. The periodic soultion、central configuration and homoclinic orbit are very important in celestial mechanics. Our project group have obtained some preliminary research results. Especially the rose solutions of three petals for four body problem obtained highly praisal from some experts in this field. The project director also has found some new solutions in collaboration with professor Zhang Shiqing and Zhou Qing. Furthermore, we are also interested in the research of central configuration. The research in central contains the following two aspects: the existence of the central configuraion for a fixed mass vector; given a configuration,find the positive mass vectors, if any, for which it is a central configuration. The main research contents of this project is to find the periodic solution and the homoclinic orbit for many problems using variational methods, and the above two aspects of the research in central configuration.

大量的研究成果使多体问题成为天体力学中各个分支的共同基础，多体问题的发展也催生了很多新的数学分支，产生了一些新的数学思想。多体问题周期解、中心构型及同宿轨的研究是天体力学中几个非常重要的课题，项目组成员在这几方面已有一些初步的研究成果。申请人攻读硕士和博士学位期间，与张世清、周青教授合作发现了一些多体问题的新解，特别是四体三叶型玫瑰周期解得到评审专家的高度评价。中心构型的研究包括：已知各天体的质量分布，研究中心构型的结构性质，进而在等价意义下研究中心构型的有限性问题；已知构型，寻找适当的正质量分布，使得构型在这些质量分布的情况下能够构成中心构型。本项目研究的主要内容是用变分方法寻找多体问题新的周期解及同宿轨，并通过对中心构型两个方面的深入研究，在其存在性方面获得一些结果，并对其有限性的研究有所突破。

天体力学在发展过程中形成了一个学科性的特殊课题—多体问题，又叫N体问题。尽管多体问题无法完全解决，但对多体问题的不断尝试催生了一些有意义的课题。周期解和中心构型研究是多体问题研究的两个主要方面。. 对于三体问题，欧拉找到了共线周期轨道，1772年拉格朗日发现了一些周期解，其中任意质量的三个天体位于存在周期性的扩张和收缩的旋转等边三角形的顶点上，这些解引领了关于中心构型课题的研究。国内外有很多专家学者在这一研究领域进行了探索，并取得了丰硕的成果。本项目主要研究中心构型的存在性问题。中心构型的存在性研究包含两个方面：已知天体质量，研究中心构型的结构性质，进而在等价意义下研究中心构型的有限性问题；已知构型，讨论是否存在适当的正质量分布，使得该构型在这些质量分布的情况下能够构成中心构型。2005年，M.Hampton和M.Santoprete首次定义了一类新的中心构型—嵌入式中心构型，并研究了七体问题的嵌入式中心构型的存在性。本项目组在此基础上展开了进一步研究，采用分析、代数和几何的方法，分别研究了空间五体、七体、九体问题嵌入式中心构型，得到了一些有意义的结果，得到了同行的极高评价，这些结果丰富了中心构型的研究，是对中心构型的有限性研究的补充。本项目组成员围绕该课题共发表SCI收录论文六篇。. 平面1+N体中心构型问题的研究，即一个大质量和N小质量天体所构成的中心构型。目前取得部分成果，还需要进一步的研究。在利用变分方法研究多体问题的周期解和同宿解方面，有了初步的研究结果，正在整理。