具有脉冲扰动的哈密顿系统周期解和同宿轨研究

This proposed research will study the existence and multiplicity of periodic solutions, periodic solutions with minimum periods, homoclinic orbits and heteroclinic orbits for Hamiltonian systems with impulses. More specifically, the following three aspects will be extensively investigated: (1) Consider homoclinic and heteroclinic orbits of first order nonlinear Hamiltonian systems with impulsive pertubations by constructing energy functional and dual energy functional on suitable function spaces; (2) Making use of variational method and critical point theory to study the existence of homoclinic and heteroclinic orbits of the 2nd order and high order impulsive Hamiltonian systems. In particular, we will focus on how the impulses can induce the appearance and disappearance of homoclinic and heteroclinic orbits for Hamiltonian systems; (3)Further investigate the multiplicity of homoclinic orbits and heteroclinic orbits of Hamiltonian systems with impulsive effects; (4) Explore the application of convex method, direct variational method, iterated inequalities of symmetric Morse index theory, geometric index theory and maximum minimum theory to the study of periodic solutions with minimum period of impulsive Hamiltonian systems. The proposed research aims to establish some new theory and techniques, develop some novel approaches to study the effects of impulses on the homoclinic orbits, heteroclinic orbtis, periodic solutions and periodic solutions with minimum periods of Hamiltonian systems. This will enable us to reveal the differences between impulsive differential equations and ordinary differential equations.

本项目将从事具有脉冲扰动的哈密顿系统周期解、最小周期解、同宿轨以及异宿轨的存在性和多重性方面的研究。拟解决的数学问题包括以下几个方面：（１）通过在合适的函数空间构造能量泛函和对偶能量泛函来研究一阶具有脉冲扰动非线性哈密顿系统的同宿轨、异宿轨；（２）运用变分方法和临界点理论研究二阶、高阶具有脉冲扰动哈密顿系统同宿轨及异宿轨的存在性。重点考虑脉冲产生的新的动力学行为和脉冲导致的同宿轨异宿轨的产生和消失；（３）开展具有脉冲扰动哈密顿系统同宿轨、异宿轨的多解性问题的研究；（４）探索凸方法与直接变分法、对称Morse指标理论的迭代不等式、几何指标理论以及极大极小理论在研究具有脉冲扰动哈密顿系统的极小周期问题的应用。 本项目旨在开拓一些新的数学理论与工具，寻求和发展新的方法研究脉冲扰动对哈密顿系统同宿轨、异宿轨、周期解以及极小周期解的影响，从而揭示脉冲微分方程与常微分方程动力学行为之间的差异。

本项目研究脉冲微分系统的动力学性态。利用变分方法和z2群指标理论研究了一类二阶中立型泛函微分方程和具有脉冲的二阶中立型泛函微分方程周期解的存在性和多重性；利用Clarke对偶和最小作用原理研究了具有扰动项的一阶哈密顿系统周期解的存在性；利用压缩映像原理和广义 Gronwall-Bellman 不等式，得到了一类广义脉冲多时滞造血模型的伪概周期解的存在性伪概周期解的存在性、唯一性和指数稳定性的新结果；研究了一类脉冲时滞造血模型的的正概周期解的存在性、唯一性和指数稳定性，所得结果是全新的；研究了一类具有空间扩散的流行病模型，通过运用Schauder不动点定理和构造新的Lyapunov泛函，证明当基本再生数R0大于1时，存在临界值C*，当C>C*时，该传染病模型具有波速为C的正的非平凡行波解，而当C<C*时，不存在任何非负行波解；运用山路引理和变分法研究了四阶脉冲哈密顿系统至少存在一个同宿轨；利用参数极限法，研究了（4+1）维Fokas方程同宿解，得到这类方程存在两个同宿解的新结果；利用Hirota的双线性和参数限制方法，通过构建新的测试函数，研究了（2 + 1）维Nizhnik-Novikov-Veselov系统孤子解的存在性，所得结果改进了相关文献结论；利用用Hirota的双线性和同宿检验方法，研究了（3 + 1）维Jimbo-Miwa方程孤子解的存在性；研究了 p-Laplace 算子的分数阶微分方程积分边值问题解的存在性，借助不动点定理，得到了该方程至少存在一个解的新结果；利用不动点定理研究了一类带 p-Laplace 算子的脉冲分数阶微分方程两点边值问题，得到解存在的充分条件，推广和改进了相关文献的结论；利用不同的不动点定理以及其他数学分析技巧，研究了一类具有不瞬时脉冲影响的分数阶积分边值问题，得到了系统存在唯一解，至少一个解的结果，推广了相关文献的结果。