空间拓扑性质的组合方法探究及应用

It is an important part of the algebraic topology to study topological properties of spaces and to compute invariants by means of combinatorial structures of spaces. This idea can be traced back to the early stage of the development of algebraic topology, at the end of nineteenth century, Poincare proposed the notion of triangulations and simplicial complexes, which could be used to prove the homological duality theorem for manifolds. With the development of computer applications to the image processing and the big data analysis, a computational topology theory based on the combinatorial structure has been gradually developed. In applicaion,the appropriate combination structure of the object is helpful for its computer representation, analysis, processing and algorithm design. Therefore, this project focuses on the following subjects:.(1) From the point of view of combinatorial algebraic topology,discussing locally combinatorial structures of digital images and their topological properties; .(2) Exploring topological properties of polyhedral complex with a specific combinatorial structure and applications to digital image analysis; .(3) Discussing the data classification and the data clustering based on combinatorial structures and topology, exploring global shape of the big data by means of persistent approximation and persistent homology of polyhedral complex, and applying the combinatorial algebraic topology to the machine learning and the big data analysis.

借助于组合结构开展空间拓扑性质的研究和不变量的计算是代数拓扑的重要内容。该思想可以追溯到代数拓扑的发展初期，在十九世纪末，庞加莱提出流形的三角剖分、单纯复形等工具，借助它们证明了流形的同调对偶定理。在当代以计算机为工具对图形图像处理及大数据分析的研究中，也以组合结构为基础发展了新的计算拓扑理论。在实际应用中，恰当的组合结构对于对象的计算机表示、分析、处理和算法设计提供了重要的帮助。为此，本项目拟开展以下几方面的研究：.(1)从组合代数拓扑角度分析数字图像的局部组合结构与相关拓扑性质；.(2)一类具有特殊组合结构的多面体复形的拓扑性质研究及其在数字图像分析中的应用；.(3)探讨基于组合结构和拓扑结构的数据分类与聚类，同时以多面体复形的持续逼近及持续同调为工具，探究大数据的整体形状结构，实现将组合代数拓扑的理论和方法用于机器学习和大数据分析。

在理解自然现象的过程中，形状或结构识别起着重要的作用。拓扑的方法可以用来描述形状，而一些拓扑不变量，如同调群和Betti数等，对研究结构的相似性和结构的互补性提供了直接、客观的数值度量，它们为研究结构的分类提供了可计算的手段，从而使其成为形状或结构分析的有效工具。本项目利用组合代数拓扑方法开展了以下两方面的研究。. 一是从组合代数拓扑的角度对数字图像分析进行理论和应用探究；二是基于同调群的可计算性，探究拓扑学中的同调方法在理论研究和数据分析中的应用。. 限于字数的要求，对第一部分内容重点介绍如下：在有限拓扑邻接范畴中，引入了两个态射间SA-同伦的概念和两个对象同伦型的概念，证明了这两种关系都是等价关系，因而为研究图像约化及同伦意义下的等价分类提供了重要的理论方法。证明了可以通过逐个删除平凡点的方法来找到一个有限T0-空间X的所有的SA-强形变收缩核，且可以将两个有限T0-空间之间的SA-同伦等价问题转化为它们的核之间的同构问题。这一结果为设计算法来实现图像的分类和比较提供了可靠的理论保证，从而有着重要的理论意义和应用价值。. 我们也将上述SA-同伦的概念进一步推广到了图范畴中，且主要结果也平行地推广了过去。国际知名数学大家Shing-Tung Yau等在2001年用组合运算方式定义了图同伦变换，而我们通过SA-同伦实现了另外一种图同伦变换，通过比较，显示了SA-同伦变换的优势。. 对第二部分内容，重点介绍如下：结合神经网络方法构建了与持续同调论相关的模型，通过提取拓扑特征指标，对富勒烯分子及其同分异构体分子、内嵌金属富勒烯Ni@Cn和金属团簇Con的能量及稳定性给出了分析，所得结果推广和深化了密歇根州立大学Guowei Wei和南洋理工大学Kelin Xia等专家的结果。富勒烯作为一种独特的分子材料在超导材料等领域显示出其独特的应用前景，理解其分子结构是研究其性质和应用的前提，本文的研究可能对探索新型材料有所助益。