多项式的对数凹性和组合拓扑性质

多项式是数学中研究最多的问题之一，经过了几个世纪的研究，在物理，计算机，生物等方向都有不少的应用。最近半个世纪，伴随着组合数学的发展，多项式的组合性质，尤其是整系数多项式的组合性质得到了很多的挖掘。本项目将着重围绕各种经典多项式，研究它们的组合性质，尤其是多项式的对数凹性质和组合拓扑性质。.多项式的对数凹性质在组合数学，代数几何，数学分析中有很多的应用，现在是组合数学研究的一个热门方向。本项目打算研究对数凹性质与各种分析性质或者拓扑性质之间的关系，得到一些关于多项式新的组合性质，进一步可以研究一系列多项式之间的与对数凹有关的性质，考察对数凹性质和组合拓扑性质之间的联系。本项目在现代组合数学的框架之内，抓住组合多项式这一核心，将组合数学与数学分析、组合拓扑相互联系展开交叉性研究。

我们重围绕各种经典多项式，研究它们的组合性质，尤其是多项式的对数凹性质，以及他们和经典特殊函数的分析性质之间的关系。多项式的对数凹性质在组合数学，代数几何，数学分析中有很多的应用，现在是组合数学研究的一个热门方向。项目负责人和合作者研究了一系列组合多项式系数之间的对数关系，发现了在组合多项式中，存在一种强于一般的对数凹（log-concave）的性质，并把这种性质命名为交错对数凹性质（interlacing log-concavity）。我们证明了Boros-Moll多项式序列具有这种性质。进而，我们找到了一个关于这个性质的一个一般化的判别条件，利用这个结果，我们证明了许多与组合数学相关的多项式都具有这个性质。我们把组合序列的对数凹凸性和一些特殊函数如Gamma函数和Riemann zeta函数的分析性质如对数完全单调性等联系起来，得到了一系列结果，包括Bernoulli数，Bell数以及Lasalle数的对数凸性质，证明了Amdeberhan, Moll和Vignat关于Lasalle数的两个猜想和孙智伟关于Bernoulli数和Bell数的猜想。在此基础上，我们在离散序列中定义了高阶对数单调（log-monotonic of order k）和无穷对数单调的概念（infinitely log-monotonic），并证明了Bernoulli数，Catalan数和central binomial系数都具有无穷对数单调的性。我们还定义了比率对数凹（ratio log-concave）的性质，并证明了Motzkin数，derangement数，Fine数，central Delannoy数，树形polyhex数和Domb数是比例对数凹的。进一步，我们证明了比例对数凹可以推出其他其他组合性质。在组合多项式的实根性的研究方向上，对于满足某种三角递推关系的组合序列，我们给出一个统一的上下文无关文法。以此文法为基础，定义了一个线性算子，并在Brandon的论文结果的基础上进行了研究，给出了这个算子保持多项式稳定性充分必要条件。