环面拓扑中闭流形及矩角复形性质的研究

Toric varieties appeared in algebraic geometry in the early 1970s. With influence of the applications of topological and combinatorial methods in the study of toric varieties, the study on topological transformation groups, especially on torus actions, has been developed rapidly during the last several decades. This approach is presented as a bridge connecting topology with combinatorics, symplectic geometry, commutative and homological algebra. As a result, it provides a new direction called toric topology. In toric topology, it is concerned with the combinatorics of orbit spaces of actions and understanding the topology of the space with the actions through the combinatorial information. From that point of view, this project is devoted to the study of the following problems: (1) Given a simplicial complex or a simplicial poset, a moment-angle complex is assigned to it. We will study properties of some spaces associated to the moment-angle complex with torus actions(2-torus actions) through combinatorics, coloring， and algebraic aspects of the simplicial complex or the simplicial poset; (2) For some closed manifolds with 2-torus actions and specified geometric properties, especially small covers over simple polytopes with complicated combinatorics, we focus on the classification of the manifolds (up to equivariant cobordism, equivariant homeomorphism, D-J equivalence etc), calculation of the number of the equivalence classes, and other related properties.

受代数几何中环面簇理论的影响, 近几十年来，拓扑学中对变换群理论的研究，尤其是对环面作用的研究得以迅速发展。这一研究使拓扑学、组合数学、辛几何、交换代数和同调代数等学科相互交叉,形成了一个新的研究方向- - -环面拓扑。环面拓扑研究带环面作用的空间的拓扑性质,该作用的轨道空间有比较好的组合结构，这些组合信息可以帮助我们理解原来空间的拓扑和计算一些拓扑不变量。从这一角度出发，本项目拟开展以下两类问题的研究：（1）给定一个单纯复形或一个单纯偏序集，可以联系带环面（或2-环面）作用的矩角复形，从单纯复形或单纯偏序集的组合性质、代数性质或染色性质来研究与矩角复形相关的空间的性质。（2）对于带2-环面作用且有特殊几何特点的一些光滑闭流形，尤其是轨道空间组合结构比较复杂的小覆盖，讨论它们在一些等价关系（如等变协边、等变同胚、D-J等价等）下的分类及类的个数计算问题等。

在拓扑变换群理论的研究中，环面作用的研究形成了环面拓扑，它使得拓扑学、组合数学、辛几何、交换代数和同调代数等学科相互交叉。环面拓扑研究带环面作用的空间的拓扑性质，在许多情况下，通过作用的轨道空间或不动点集的信息来理解原空间的拓扑性质是有效的方法，而轨道空间或不动点集的良好结构对于计算拓扑不变量也有很好地帮助。本项目基于上述思想方法，深入研究了具有2-环面作用的闭流形在一些等价关系下的分类及类的个数计算问题等。同时也讨论了与单纯偏序集S相联系的空间DJ(S)的性质。已发表和接受的主要结果如下：. 小覆盖是一类重要的带有2-环面作用的闭流形，当轨道空间为平面多边形和两个单形的乘积时，我们决定了它上的可定向小覆盖的等变同胚分类，并借助于欧拉函数给出了计算等变同胚类个数较复杂的递推公式。在此基础上，考虑了轨道空间为任意固定的简单凸多胞形与n维单形的乘积时，小覆盖的D-J等价分类，此时我们视n为变量，得到了一个重要结果：该类乘积空间上小覆盖的D-J等价类的个数作为变量n的函数一定是变量2n的多项式。这一结果的重要意义在于提供了计算等价类个数的新方法，即只要给定有限个数据点，利用多项式插值的方法就完全可以决定该函数, 这是本项目的一个创新点。对于该类乘积空间上可定向小覆盖我们也证明了类似的结果。为了弄清楚其上可定向与未定向小覆盖的等价类个数变化的差别，我们证明了在变量n取奇数趋于无穷时，两者之比趋于一个非零的固定常数，而在变量n取偶数趋于无穷时，两者之比趋于零。作为该结果的应用，我们利用多项式插值的新方法计算了一类小覆盖等价类的个数，推广了前人的结果。. 从作用的不动点集与流形的关系作为出发点，我们给出了几类闭流形的等变协边分类。当考虑对合的不动点集为偶数维实射影空间与Dold 流形P(2m, 2n+1)的不交并时，首先证明了该种作用的存在性，然后在一定条件下得到了只有两个等变协边类。我们还考虑了其它两种情况，结果发现只有一类。