有理函数参数空间的拓扑性质

In this project, we will investigate the topology of the parameter space for rational maps. Hyperbolic rational maps are the most important maps and hyperbolicity conjecture is the central problem in one dimensional complex dynamics. We will focus on the topology of hyperbolic components in parameter space. It consists of the following problems: the topology of the boundary of hyperbolic components in cubic polynomials; the global topology of some hyperbolic components of finite type；the distribution of non-hyperbolic rational maps with Cantor Julia sets in the boundary of shift locus and the distribution of non-renormalizable polynomials in the boundary of connected locus. We will use the stability of puzzles and ridigity theorems to study the topology of the boundary of hyperbolic components and we will use the algebraic topology and Riemann surface to study the topology of the modal space of holomorphic proper maps between multi-connected domains.

本项目致力于有理函数参数空间拓扑性质的研究。双曲性猜想是一维复动力系统领域的核心问题，双曲有理函数是重要研究对象。我们将研究和双曲分支有关的拓扑问题，主要包括：三次多项式中双曲分支边界拓扑的性质，有限性双曲分支的整体拓扑以及具有Cantor型Julia集的有理函数在shift locus（Julia集完全不连通的双曲分支）边界上的分布、不可重整多项式在connected locus(Julia集连通的多项式集合)边界上的分布等问题。我们将应用puzzle的稳定性及刚性定理研究双曲分支边界的拓扑性质，代数拓扑和黎曼曲面理论研究模型空间的拓扑结构。

黎曼球上的有理函数的迭代产生了非常复杂的动力系统行为。动力系统平面和参数空间上的分岔集是过去30年来复动力系统的主要研究对象。为了研究三次多项式的参数空间，Milnor在三次多项式参数空间中引入有一个周期为p的临界点的三次多项式集合并证明这是一个光滑的仿射代数曲线。Milnor猜测这个代数曲线中的任何有界双曲分支都是Jordan圆盘。我们证实了这个猜测。我们研究了McMullen映射Julia集的拟对称几何，证明了多数情况下它们拟对称等价于圆地毯。特别地，存在无穷重整的McMullen映射的Julia集拟对称等价于圆地毯。我们证明了任意多项式有界Fatou分支的边界都是Jordan曲线，除非最终映射为Siegel盘。我们还从有界Fatou域的“内部”刻画了填充Julia集的动力系统。我们研究了任意多项式Newton迭代的动力系统，证明了根吸引域的边界总是局部连通的。更进一步，我们证明根吸引域边界是Jordan曲线当且仅当吸引域内只含一个临界点。在复动力系统领域，由特定动力系统性质定义的多项式或者有理函数高维双曲分支具有非常神秘的拓扑性质。我们证明了一些典型多项式函数族中，捕获双曲分支的边界同胚于球面。同时，我们惊人地给出了其边界Hausdorff维数的精确表达式，严格大于拓扑维数但严格小于空间维数，从而说明捕获双曲分支的边界是一个“温和”的分形集合。