测度链上的动力方程的概周期解和几乎自守解

The theory of dynamic equations on time scales is not only to devoted to unifying differential and difference equations and analysising the essential difference between them deeply, but it is also used to study the phenonema besides the continuous time and discrete time. However, the study of almost periodic solutions to dynamic equations on time scales is just started. To the best of our knowledge, there are no results concerning almost periodic traveling waves of dynamic equations on time scales. The project is devoted to studying the existence of almost periodic solutions, almost automorphic solutions and traveling waves for to dynamic equations. Therefore we study the following problems: 1) Almost automorphic solutions to dynamic equations on time scales. By giving the defintion of almost automorphic time scale, we definite the almost automorphic functions on almost automorphic time scale. We study the existence of almost automorphic solutions to dynamic equations by the property of exponential dichotomy/exponential trichotomy. 2) Alternative theorems for dynamic equations on time scales. By the topological degree to dynamic equantions, we study the alternative theorems. 3) Traveling waves to dynamic equations. The approach is to study the wave-like solutions to dynamic equations by the properties of dynamic equations, and show that the wave-like solutions "converge to" traveling waves. Furthermore, we will study the existence of almost periodic traveling waves for dynamic equations, and the relation between the spreading speeds and wave speed.

测度链上的动力方程理论不仅可以统一微分、差分方程，分析其异同点，而且还可以精确描述时间变量除连续和离散之外的现象。国内外对动力方程的概周期解的研究才刚开始，对动力方程的概周期行波解的研究并未涉及到。此项目旨在研究动力方程的概周期解,几乎自守解和行波解的存在性。拟研究：1）测度链上动力方程的几乎自守解问题。通过定义几乎自守的测度链，给出合理的测度链上几乎自守函数的定义。通过动力方程的指数二分性/三分性研究动力方程的几乎自守解问题。2）动力方程的择一性定理。应用拓扑度理论研究择一性定理。3）测度链上动力方程的行波解。通过类波解存在，利用动力方程的理论，研究类波解的"收敛性"，证明类波解最终收敛于行波解。进一步的，可以研究动力方程的概周期行波解的存在性问题以及行波解的波速和传播速度的关系。

测度链上的动力方程理论不仅可以统一微分、差分方程，分析其异同点，而且还可以精确描述时间变量除连续和离散之外的现象。由于自然界中的许多问题，如生物、金融、物理等，都具有回复性，而测度链上的动力方程也具有较强的应用背景。因此，对测度链上的动力方程解的研究，离不开概周期解/几乎自守解/伪概周期解/伪几乎自守解的研究。.. 此项目研究了： 1）测度链上C(m)概周期函数。应用泛函分析方法以及概周期测度链的特有性质，研究C(m)概周期函数的性质，得到了C(m)概周期函数的判断定理，复合定理。2）测度链上二阶动力方程的概周期解的存在唯一性定理以及择一性定理。通过构造辅助方程，应用齐次动力方程的指数二分性得到了二阶动力方程的概周期解的存在性定理。通过拓扑度方法研究算子方程，得到二阶动力方程的概周期解的择一性定理。3）测度链上C(m)概周期函数与实数集上C(m)概周期函数的相互关系。应用数值分析方法得到相应的结果，通过这一结果研究高阶动力方程概周期解和高阶微分方程概周期的相互关系。4）概周期测度链上C(m)伪概周期函数的定义，及其与实数集C(m)伪概周期函数的关系。应用delta积分给出了测度链上C(m)伪概周期函数的定义和性质，研究了此类函数的复合定理和判断定理。应用delta积分的性质，概周期测度链的性质，以及数值分析方法，得出了关于实数集上C(m)伪概周期函数与测度链上C(m)伪概周期函数的关系的结论。5）微分方程的伪几乎自守解的存在性定理以及择一性定理。应用指数三分性讨论伪几乎自守函数的存在性结论。.. 项目的研究基本达到预期目的。所定义及研究的C(m)概周期/伪概周期函数为处理高阶动力方程的概周期/伪概周期函数解提供了工具。.