微分动力系统的测度和熵

熵和测度分别是动力系统和遍历理论的核心内容。 系统的熵和系统中各种的遍历测度的存在性都是系统最重要的性质。本项目将研究对于特定的微分动力系统（主要是满足一定条件的部分双曲系统），由系统的所有遍历测度的测度熵构成的集合的结构和性质。Herman猜测当可微系统的拓扑熵大于零的时候（通常这样的系统被认为是混沌的， 非常复杂），系统一定不是唯一遍历的。而根据Katok的猜想，该集合应包含从零到系统的拓扑熵的整个区间。该问题由Katok在上世纪八十年代初证明非一致双曲情形之后提出，直到近期才由申请人取得一些新的进展。申请人将在已有工作的基础上， 继续探索新的思路和方法，为最终解决一般情况下Katok的猜想创造可能。该问题与动力系统领域多个分支甚至数论、分形几何等都有广泛的联系。本项目的研究可以丰富和促进国内动力系统领域的全面发展。

本项目研究了微分动力系统的熵和测度之间的一些性质。我们证明了对于高维环面上的任意线性映射，遍历测度的测度熵在由零到拓扑熵构成的区间中稠密。该结果的意义主要在于应用了一种通过不稳定流形来构造不变集的方法，是这一方法在相关问题上的第一次尝试，引起了国内外同行的关注。同时，我们在熵的计算和估计方面也做出了创新的工作。我们研究了开覆盖的Lebesgue数的指数衰减并证明其与Hausdorff维数的乘积对拓扑熵的上界给出了一个新的估计。之后我们又研究了可扩系统的可扩常数的指数衰减，也利用其与盒维数的乘积得到了类似的结果。此外，我们还做了一个关于加倍测度的工作，给出了一类Cantor集上加倍测度存在的条件。