微分动力系统

The main object of differentiable dynamical systems is to study the long-term limit behavior and perturbations of systems. In this project, we will study some important problems of modern differentiable dynamical systems. Precisely, we will use various of perturbation techniques, especially Liao theory on standard differential equations and obstruction set, to study singular star flows, Palis density conjecture for diffeomorphisms and singular flows, partially hyperbolic dynamics and generic properties of systems far away from homoclinic tangencies; study the approximation properties and large deviation theory of partially hyperbolic and non-uniformly hyperbolic dynamics by using C1 periodic closing lemma of Liao and new Pesin filters; study the linearization and normal form of center and degenerated systems and bifurcation; study (weak) Hilbert 16th problem by using theory of normal form and global analysis; study the existence and stability of quasi-periodic solutions of time-reversible isochronous systems by using Moser twist theorem; study Birkhoff integrable conjecture of billiard and weak KAM theory; develop the fundamental theory of discontinuous skew-product systems; study the change of dynamical quantities with system parameters and extreme problem of eigenvalues; study norm form of random dynamics and non-autonomous ordinary differentiable systems.

微分动力系统研究系统长时间的极限行为以及系统的扰动。本项目将围绕当前微分动力系统的一些重点问题开展研究工作。我们将运用各种扰动理论特别是廖山涛的典范方程组与阻碍集理论研究有奇星号流的刻画、微分同胚及有奇流的Palis（强）稠密性猜测、部分双曲系统的动力学行为、远离同宿切系统的各种通有性质；利用廖的C1 周期封闭引理及新Pesin 滤子研究部分双曲与非一致双曲系统的逼近性质及大偏差理论；研究中心及退化系统的线性化与正规形以及分岔问题；借助正规形理论和大范围分析的各种手段研究（弱化）Hilbert 第16 问题；利用Moser 扭转定理研究时逆等时系统拟周期解的存在性和稳定性；研究台球问题的Birkhoff 可积性猜测以及弱KAM 理论；进一步发展关于不连续斜积动力系统的基本理论；研究动力系统量随系统参量的变化以及特征值极值问题；研究随机动力系统以及非自治常微系统的正规形问题。

微分动力系统研究系统长时间的极限行为以及系统的扰动。本项目围绕当前微分动力系统的一些重点问题开展研究工作。运用各种扰动理论特别是廖山涛的典范方程组与阻碍集理论得到了有奇星号流的完整刻画、证明了三维有奇流的Palis弱稠密性猜测、并开始系统深入地研究中心一维部分双曲系统的动力学行为；研究了非一致双曲的微分动力系统的遍历论，建立了测度集合上的测度熵和该集合吸引区域的拓扑熵的变分原理；证明了熵映射的上半连续性质，第一次揭示C^{1+\alpha}和C^{1+\dom}在非一致双曲理论的不平行； 建立了非一致双曲流和不可逆映射的周期封闭性质。研究了带奇点流的熵的退化理论，指出周期增长率和拓扑熵可以交错的达到顶级退化。研究了群作用的遍历论。研究了时逆系统的低维退化不变环面的存在性。研究了保面积映射约化至线性规范型的充分条件，并利用这一结果对于半线性方程的拟周期解的存在性和解的Lagrange稳定性的一个公开问题给出了正面的解答。研究了一类中心一维随机动力系统的光滑线性化。阐述了特征值对于位势、权函数等具有极强的连续依赖关系，为研究特征值的极值问题和最优估计建立了坚实的分析基础并发展了具有一定普适性的解析方法。系统地研究了p-Laplacian算子带位势的周期谱曲线，完整地刻画出具有变分结构的Fucik谱曲线，并进一步证明了这些谱曲线是连续依赖于弱拓扑变化下的位势对。基于以上强连续依赖关系，解决了若干特征值的最优估计问题，并由此显式地构造出几类非退化位势。在中心及退化系统的线性化、正规形以及分岔问题方面获得了一系列深刻结果。