非线性发展方程整体解及相关无穷维动力系统的研究

本项目重点研究从物理学、材料科学、流体力学中提出的一系列重要非线性发展方程组，例如：关于向列型液晶、层列型液晶的流体力学方程组；两相混合不可压缩流体力学方程组；关于费米气体在BCS-BEC越渡区域性质的 Ginzburg-Landau-Schrodinger 耦合方程组等等。我们将深入研究这些非线性发展方程组整体解的存在唯一性、正则性等性质。在此基础上，我们将发展和推广文献中的Lojasiewicz-Simon 方法，来研究当时间趋于无穷大时整体解对平衡态的收敛性，并给出收敛速率的估计。同时，我们还将考察问题相应无穷维动力系统的性质，例如，整体吸引子的存在性、正则性及其结构、指数吸引子的存在性等等。本项目研究的问题具有重要的物理背景，在数学方法上有发展和创新，获得的关于发展方程整体解性质的结果在数学上有创新性并为数值计算模拟和实验提供了理论依据，具有重要的理论与实际意义。

本项目研究了从物理学、材料科学、流体力学中提出的一系列重要的非线性发展方程组。基于项目计划书拟定的研究内容，我们考察了如下几类具体问题：可压或不可压的向列相、近晶相液晶流体力学方程组；描述热致 Marangoni 效应的不可压两相流体力学方程组、多孔介质中的两相流体力学方程组，关于生物膜形变的相场-流体方程组；关于费米气体在 BCS-BEC 越渡区域性质的 Ginzburg-Landau-Schrodinger 耦合方程组等。我们首先考察了这些非线性发展方程组的适定性（如弱解、强解的局部、整体存在性，解的唯一性、解的正则性等）。在此基础上，我们研究了方程组整体解的大时间渐近性态。一方面，我们发展和推广了文献中的 Lojasiewicz-Simon 方法，研究了大初值条件下当时间趋于无穷大时发展方程整体解对平衡态的收敛性并给出收敛速率的估计，同时也研究了平衡态在小扰动下的稳定性。另一方面，我们考察了发展方程组相应无穷维动力系统的性质，例如，整体吸引子、指数吸引子的存在性、正则性及其结构、维数估计等。本项目研究的发展方程组具有重要的物理背景，为克服方程复杂的非线性耦合结构带来的数学上的困难，我们在数学方法上有发展和创新，获得的关于发展方程整体解性质的成果在数学上有创新性并为数值计算模拟和实验提供了理论依据。在本项目资助下，目前正式发表SCI论文14篇，部分成果发表在 Arch. Rational Mech. Anal., SIAM J Math. Anal., Calc. Var. PDEs, J. Differential Equations 等高水平数学专业杂志上。