非线性发展方程整体解及其吸引子相关问题研究

The project will study the problems of the global wellposedness of solutions, controability and the existence, upper semicontinuity and dimensional estimates of attractors of infinite-dimensional dynamical systems for the following important evolutionary equations arising from the fields of sciences of physics, mechanics and material science: (1) The global existence and asymptotics (including the decay rates) of spherically (cylindrically) symmetric solutions to the Cauchy problem of 3D incompressible NS equation; (2) The pointwise estiamtes of Green functions of solutions to the Cauchy problem for 3D non-isentropic compressible NS equations; (3) The global wellposedness (global existence and asymptotic behavior (estimates of decay rates) ) of solutions to one and higher dimensional spherical (cylindrical) radiative fluid equations; (4) The attractor theories (including the existence and upper semicontinuity of pullback attractors) for infinite-dimensional dynamical systems and their applications to some nonlinear evolutionary equations; (5) The controability for nonlinear hyperbolic systems. These problems are all very active, internationally extensive conerns received, challengable and important acadmic ones in the international frontiers in recent more than ten years. Therefore, a deepgoing detailed study undertaken on these problems not only needs creativities in both theories and applications, but also necessarily creats important impacts on the theories and applications for nonlinear functional analysis, nonlinear evolutionary equations and their infinite-dimensional dynamical systems. New research directions must need the creativities in mathematical methods and techniques.

本项目拟研究物理、力学、材料科学等学科中出现的下列重要的非线性发展方程解的整体适定性、能控性及其无穷维动力系统吸引子的存在性、上半连续性和维度估计等问题：（1）三维不可压NS方程Cauchy问题球（柱）对称解的整体存在性和渐近性（含衰减率）；（2）三维可压非等熵NS方程组解的Green 函数逐点估计；（3）一维和高维球（柱）对称辐射流体方程组解的整体适定性 （整体存在性、渐近性（衰减率估计））；（4）无穷维动力系统吸引子理论（含拉回吸引子存在性、上半连续性）及其在某些非线性发展方程中的应用；（5）非线性双曲系统的能控性。这些问题均是近十几年来国际上广受关注的、极具挑战的、国际前沿的重要的学术问题。因此，对这些问题开展深入细致的研究，不仅需要在理论和应用上创新，而且必将对非线性泛函分析、非线性发展方程及其无穷维动力系统的理论和应用产生重要影响。新的研究方向必然需要新的数学方法与技巧的创新。

本项目课题组深入细致地研究了以下起源于物理、力学等学科的12类重要的非线性发展方程（组）：(a)Navier–Stokes方程（组），(b)扩散方程，(c)液晶流体方程组，(d)Navier-Stokes-Voight方程，(e)辐射流体方程组，(f)磁流体方程组，(g)Boussinesq方程组，(h)波方程，(i)拟线性双曲方程组，(j)Timoshenko方程组，(k)非牛顿流体方程组，(l)3D Kelvin-Voight-Brinkman-Fochheimer方程。这些方程（组）均是国际前沿研究数学领域中的重要问题。课题组出版了3部专著，发表完成35篇论文。专著[1]介绍了一些重要的分析不等式及其在（偏）微分方程中的应用。这些不等式包括积分、微分和差分不等式，它们在建立解的（一致）界、整体存在性、大时间性态、衰减率及其爆破时，起着非常重要的作用。专著[2] 综述了一维可压缩Navier-Stokes方程组整体强解的存在性、渐近性以及整体吸引子的存在性。专著[3]研究了非线性自治系统整体吸引子的存在性及其应用。35篇论文的结果包括局部解的存在唯一性、整体解的存在唯一性及长时间行为、整体（一致，轨道，拉回）吸引子的存在性、上半连续性及维度估计、小马赫数极限及能控性。这些都是有价值深刻的结果，在理论和应用上具有重要的意义, 对相关学科有重要的影响。.课题组组织和参加了10多个国际学术会议和组织3次国内学术，邀请来自美国，德国，法国，波兰，巴西和国内100余位专家来东华大学进行学术交流或在线作报告。课题组培养了8名博士生和20名硕士生，获得国家自然科学青年基金2项，上海市自然科学基金1项及中央高校基本科研业务费专项基金1项。总之，课题组顺利地超额完成了本项目。