波形地震定位中的数学理论和快速算法研究

The earthquake location is a fundamental problem in seismology, and it has various applications, such as earthquake early warning system, the investigation of seismic heterogeneous structures, carbon sequestration and monitoring nuclear explosion. Mathematically, the earthquake hypocenter, the origin time and other related parameters can be accurately obtained by solving a nonlinear optimization problem with wave equations constraints. There are two key difficulties in the problem. First, there are many local minima of the objective optimization function under the L^2 measure, thus the convergence domain of the conventional waveform based earthquake location method could be very small. The second problem is that the total computational cost is very expensive since the wave equations are solved many times during the iterations. In response to these difficulties, we would like to develop accurate and efficient numerical methods for the earthquake location problem. In this project, the Wasserstein metric will be applied and further developed to improve the objective optimization function. We expect to essentially expand the convergence domain. We also want to develop a new numerical method to solve the wave equation locally. Thus, the total cost of the inverse problem may be greatly saved. The realization of the project will provide theoretical basis and algorithm support for the development of the new and practical earthquake location methods.

地震定位是地震学中的基本问题，它广泛应用于地震预警、大尺度地下结构反演、碳封存和核爆监测等方面。数学上，人们可以通过求解基于波动方程约束的非线性优化问题，以较高精度给出震源位置、发震时刻和其它震源参数。该问题有两个核心困难：（1）传统L^2度量下的优化目标函数具有大量的局部极小值，导致算法的收敛域很小；（2）反演问题需多次求解波动方程，总体计算代价非常昂贵。针对上述困难，本项目旨在发展出波形地震定位问题的高精度、高效率数值算法。项目拟解决的关键性科学问题有两个：一是利用并发展最优输运领域中的沃瑟斯坦度量改善优化目标函数，有效扩大算法的收敛域；二是发展出针对地震定位问题的，局部计算波动方程的数值算法，提高求解波动方程乃至整体反演的计算效率。项目目标的实现将为发展出新的、实用的地震定位方法提供理论依据和算法支撑。

本项目的目标，是针对波形地震定位问题，发展其中的数学理论和快速算法。波形地震定位，相比于传统的地震定位方法，具有显著的精度优势。然而，由于需要计算大量波动方程，其计算代价较大。另一方面，在比较真实信号与合成信号之间的距离时，传统的度量会在优化目标函数中产生大量的局部极小值，影响了算法的收敛性。本项目的目标，是发展波形地震定位快速算法。同时，引入最优输运理论中的Wasserstein度量及变体，改善优化目标函数的凸性，从而提高算法的收敛性。..在该项目支持下，我们很好的实现了上述目标。首先发展出基于辅助函数的地震定位新方法，只需要一轮计算即可得到高精度的地震定位结果。该方法的计算效率比传统方法提高了一个数量级。其次，我们将非平衡最优输运理论中的Wasserstein-Fisher-Rao度量应用到地震定位问题中，由此得到了新的优化目标函数，避免了传统方法得到的优化目标函数在真实震源附近的退化性，降低了信号噪声对目标函数全局极小点的偏移影响，显著的提高了地震定位精度。..以此为基础，我们还结合实际数据，针对地下速度结构进行反演，同时对反演出的结果给出地球物理学解释和讨论。从而打通了实际数据、数学模型、数值算法、反演结果和地学解释的全研究链条。我们涉及到的区域包括：南美洲安第斯高原的南普纳高原地下150千米以上区域、首都圈地区25千米以上区域、东北日本地区120千米以上区域和阿拉斯加地区150千米以上区域。..作为本项目研究内容之一的最优输运模型，我们还做了一些扩展。我们进一步发展了最优输运模型和算法。提高了计算最优输运问题的计算效率，以及将最优输运引入到自然语言处理的相关研究之中。..最后，我们还与工业界的合作伙伴，共同研究了一些数学和无线通信的交叉学科问题。特别是针对未来高密度无线网络组网容量计算问题，得到了合作方的高度认可，目前正在推动该研究的转化落地。