非自治系统正规形及其应用

经典的正规形理论是用来简化自治和周期常微分方程或微分同胚的重要工具，从H.Poincaré开始，一百多年来得到了很大的发展。目前，由于电子工程和天体力学等领域中大量的实际问题的数学建模是非自治，并伴随着随机动力系统的深入研究，进一步寻求非自治系统的正规形就具有重要的意义。然而现有的结果往往只针对某类固定的非自治系统，还缺乏统一有效的理论方法。本项目以此问题为目标，希望在我们以前工作的基础上，有方法和技巧的改进，争取在形式正规形收敛性的问题上得到一些系统的结果。

伴随着随机动力系统正规形研究的深入发展，我们发现有可能对于一般的非自治系统的正规形建立相对统一的理论框架，此即为本项目的主要目的。在本项目进行期间,我们主要完成了如下工作：对于随机动力系统正规形的研究，我们改进了经典的极大模方法并结合二分法，从正面得到了某类随机微分同胚的解析正规形，从反面得到了对于一般随机同胚，类似Siegel型的正规形定理是不存在的；在前面工作的基础上，我们对于更一般的系统，包括经典的自治系统，随机动力系统，满足平均法的系统等，至少在Poincaré域上建立了统一的正规形模型；同时我们还研究了与正规形相关的一些问题，包括，推广了Beliski定理，并给出了平面细焦点附近的一个分形不变量来刻画等时条件；给出周期差分方程自治化的条件。