间断位势薛定谔方程的高效高精度计算方法

薛定谔方程是描述物理系统中量子效应的基础模型，它广泛应用于纳米半导体、量子输运理论、非线性光学和凝聚态物理等领域。在方程演化过程中，间断位势（如量子垒、量子点、PN结）将导致波函数解产生特殊的量子效应，如量子散射现象和共轭隧穿效应等。由于波长远小于材料尺度，现有的直接算法会随着空间维数的增加变得极其昂贵；如果忽略特殊的量子效应，计算精度将会受到很大的影响。本项目旨在为间断位势薛定谔方程的计算提供高效高精度的数值方法。项目拟解决的关键性科学问题有两个：一是如何将间断位势产生的量子效应设计到数值算法中去，从而提高计算精度；二是如何对计算区域具有复杂几何结构的高维薛定谔方程实现降维处理，从而降低计算代价。项目目标的实现，将会极大的推动对薛定谔方程的数值模拟和应用研究。

在该项目的支持下，申请人对偏微分方程数值解中的若干问题进行了大量的科学探索，包括计算高频波、双曲松弛系统数值方法和反问题中的快速算法。尽管涉及到了多个领域，但研究目标和研究手段均具有一致性，即利用渐近分析等数学工具，构造对现有问题的快速计算方法，提高对于实际问题的计算精度和计算效率。. 计算高频波是该项目预设的研究内容，目前发表SCI研究论文2篇：（1）在半经典区域中求解Dirac方程（相对论量子力学模型）的高斯光束方法；（2）固定能量声波方程的高斯光束方法。另有1篇论文在研：求解弹性波方程的欧式高斯光束方法。. 申请人从2012年起，在双曲松弛系统领域做了一些研究工作，特别是针对格子Boltzmann方法的数值分析。该领域和计算高频波领域的相似之处在于，两者均针对双曲系统，利用的渐近分析工具均为Strang展开。申请人希望将在计算高频波领域积累的经验应用到该领域。目前已完成研究论文2篇：（1）格子Boltzmann方法的初值研究；（2）多松弛时间的格子Boltzmann方法研究。另有1篇论文在研：格子Boltzmann方法的边值研究。. 申请人从2011年起，开始关注计算地球物理的相关问题和研究进展。由于地震波波长远远小于地震波传播的区域，这类问题可以看作高频波问题。另一方面，该领域的关键性问题在于求解反问题，即根据记录到的地震波信号反演出地下介质的信息（如局部波速）。申请人原先期望将高斯光束方法等渐近计算方法应用到计算地球物理的正演计算中去，从而提高反演的计算效率。在研究过程中，申请人发现了很多有趣的现象，例如信号的发出和接收过程具有局部性和相似性。目前，申请人正在紧张的进行研究，努力尝试将上述特性转换成数值计算的优势，进而发展出计算效率极高的结果，从而极大的推进该领域的研究。