两类具有扩散的恒化器模型解的性质分析及数值模拟

本项目主要研究两类具有扩散的恒化器模型解的性质及数值模拟问题。首先，利用Lyapunov-Schmit分歧理论、系统参数扰动分析，研究典型形式的扩散恒化器竞争模型正解的存在唯一性及稳定性问题，这是该领域长期悬而未决的核心问题之一，该问题的突破将提升该领域的研究水平，具有重要的学术价值；其次，对具有抑制的扩散恒化器竞争模型的研究是该领域的热点问题之一，我们已在内抑制的扩散模型的研究方面取得了一系列有意义的成果。建立具有外抑制的扩散恒化器竞争模型并系统给出其正解唯一性、多解性的参数分析，也是该领域的重要问题；最后，对具有prey-evolution效应的扩散恒化器捕食-食饵模型平衡解、Hopf分歧及大时间动力学行为进行理论分析和数值模拟，这是该领域重要和新颖的研究课题。本项目既是该领域的国际前沿问题，也是难点问题，必将丰富应用学科的偏微分方程研究内容，完善和提升扩散恒化器模型的研究层次。

利用Lyapunov-Schmidt分解技巧及谱分析等方法，给出了非均匀恒化器竞争模型当最大生长率均在临界点附近时共存解的存在唯一性及稳定性。利用不动点指标理论及摄动方法等，对具有内抑制剂的非均匀恒化器模型，给出了其共存解存在性的参数分析，得到了一定条件下共存解分歧的确切形状；对具有质载且具有强抑制剂的非均匀恒化器模型，当抑制剂充分大时，得到了共存解存在唯一及仅存在两个解或至少存在两个解的参数区间。对一类具有扩散的prery-predator模型，研究了其共存解的存在性及稳定性，给出了几种典型条件下共存解存在性的较为完整的理论结果，并进行了有效的数值模拟。同时，对几类相关的重要生态数学模型，研究了其共存解、Hopf分歧解、周期行波解的存在性、唯一性及大时间行为等有关性质，得到了系列研究成果。