动力学方程以及相关的宏观模型的一些数学理论

The purpose of this project is to study the Boltzmann equation and its related macroscopic models, such as the system of Navier-Stokes equations as a typical example in fluid dynamics. These equations and systems model the motion of gas in different physical scales. And the study on the behavior of solutions to these systems has been one of the focuses in the area of nonlinear partial differential equations. Precisely, in this project, based on our previous studies, we will concentrate on the following three problems: the positive lower bound of solutions to the Cauchy problem for the Boltzmann equation; the rigorous mathematical theories of ghost effects described by the Boltzmann equation; solution behavior of a family of dissipative fluid systems for which Navier-Stokes as a typical example.

本项目拟研究以Boltzmann方程和可压Navier-Stokes方程为典型特例的一类动力学方程以及相关的宏观模型，它们描述了在不同的物理尺度下气体和流体的运动。对这类方程解的性态研究一直是国内外非线性偏微分方程界所关注的焦点。本项目拟在我们前期工作的基础上，主要围绕Boltzmann方程Cauchy问题整体解的正下界估计、Boltzmann方程"幽灵效应"的严格数学理论、以可压Navier-Stokes方程为典型特例的一类带耗散的流体力学方程组解的性态这三个方面的问题展开进一步的研究。

本项目研究了以Boltzmann方程和可压Navier-Stokes方程为典型特例的一类动力学方程以及相关的宏观模型，它们描述了在不同的物理尺度下气体和流体的运动。对这类方程解的性态研究一直是国内外非线性偏微分方程界所关注的焦点。本项目对Boltzmann方程及其相关的宏观模型Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组，Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组，Landau-Maxwell相对论方程组，Vlasov-Poisson-Landau方程组研究了在平衡态附近的整体解的存在性及解的收敛率。对具大初始扰动的一维可压Navier-Stokes方程组的柯西问题、内流问题和外流问题，一维可压Navier-Stokes-Poisson方程组的柯西问题，具有大初始值的一维 Korteweg类型的可压流体模型的柯西问题，二维广义BBM-Burgers方程的初边值问题，具大初始扰动的带阻尼的非线性波动方程的初边值问题，Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组的柯西问题以及Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组的柯西问题，精细地刻画了整体解的渐近性态,并得到强弱非线性波的渐近稳定性及其解的收敛率。对粘性和热传导系数均依赖于温度的一维可压Navier-Stokes方程组构造了一类大初值整体光滑解； 对Landau方程，Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 方程组以及具有可压边界层的prandtl类型的方程分别研究了正则效应、时间周期解和不适定性准则；对非线性理想反应色谱方程组的一类初边值问题构造了整体弱熵解。这些问题具有很强的物理背景，是属于本领域研究前沿的基本而且重要的问题。所取得的成果不仅促进动力学及流体力学的数学理论这一研究领域的发展，而且可以为解释一些相关的物理现象提供借鉴。