复合材料相关的一些数学问题

Most of the time since ancient times, producing new composite materials are based on a large number of experiments. Since the end of 1970s, mathematics was used slowly to predict the accurate properties of composite materials. However, because of its difficulty, this progress is very slow. Even for compositing two materials, only the simplest situations have been studied, knowing that what new composite materials can produce and how to produce these composite materials. Therefore, researches on any problems in this field, even for very specific situations, are also of great significance...Interestingly, the mathematics used in this field is mainly theories of partial differential equation and theories of optimal control. What we need to study are those controlled partial differential equations that contain controls in the leading term. It brings main difficulties. Other difficulties are caused by the lack of regularities of solutions to the partial differential equations we met. In our previous work, we pay more attention to the general problem, and get some interesting results. Since people get rare progress in studying general problems, the current project will be mainly concerned with special problems.

自古以来的绝大部分时间中, 将多种材料复合成一种特殊新材料的方法均基于大量的实验. 到上世纪70年代末, 对复合材料性质的精确的预测才慢慢地有了数学基础. 然而, 由于问题本身的困难, 这方面的进展相当缓慢. 仅仅对于两种材料的复合而言, 人们也只是对一些最简单的情形基本搞清楚了可以复合出哪些新材料, 以及如何复合出这些材料. 对这一领域相关问题的研究, 即使对于非常具体特殊的情形, 也具有重要意义. ..有趣的是, 这一领域的问题在数学上恰好与偏微分方程系统的最优控制理论有关. 但所研究的偏微分方程的主部系数含有控制. 这是问题的一大难点. 问题的另一大难点在于研究此类问题所涉及的偏微分方程解的正则性更为困难. ..我们在以往的工作中, 较多地关注了一般性的问题, 并得到一些结果. 鉴于本领域中较为一般性的问题都有很大困难, 目前进展也很少, 本项目则将更多地关心特殊的问题.

本项目涉及的复合材料问题与均匀化相关. 项目主要研究的是相关的最优控制问题. .项目主要的成果在于对各向异性材料的均匀化给出了第一特征值最小化/最大化问题的求解方法. 其中与雍炯敏教授合作完成的文章研究了两种各向异性材料的复合, 体现材料特性的对应的偏微分算子的第一特征值的最小化以及最大化问题. 对于最小化问题, 我们用齐次化理论给出了一个具有物理意义的解答. 对于最大化问题,则给出了一个凸化意义下的解答. 文章于 2021 年发表于国际变分学的权威期刊 Calculus of Variations..在此基础上, 与尹雪元合作考虑了更一般的问题. 包括最大化与最小化第 k 个特征值的问题. 我们还给出了两个非常有趣也有用的结果: 证明了对于最大化第一特征值问题, 凸化问题与均匀化问题的最优解尽管互相不同, 但可以互相转换. 而对于最小化第一特征值问题, “调和平均化”与均匀化问题的最优解通常也不相同, 但可以互相转换. 这意味着我们在求解此类问题时, 可以考虑数学上简单(但不一定有物理意义)的凸化或调和平均化问题, 求出最优解后将其转化为有物理意义的齐次化问题的最优解. 一部分结果已经发表在 Scientia Sinica, Mathematica 以及国际控制论的权威期刊 Mathematical Control and Related Fields 中, 另一部分结果正处于审稿之中. .为进一步的研究做准备, 我们研究了带有奇性的系统---多解系统的最优控制问题, 最优控制的 Turnpike 性质, 以及主部系数含控制的最优控制问题的二阶条件. 这些研究对于今后进一步研究多解的均匀化问题、本项目所研究的最优控制问题的求解、二阶条件的研究等有着重要的意义. 我们给出了一类多解系统最优控制问题的最大值原理, 关于 Turnpike性质（这是国际控制论界最新的研究热点）的结果已在控制论国际权威期刊 ESAIM: COCV 上发表, 关于均匀化问题(数学上体现为受控偏微分方程的主部系数含控制)的二阶必要条件和充分条件, 与雍炯敏教授合作文章发表在控制论国际权威期刊 athematical Control and Related Fields