非线性双曲方程的高阶HWENO方法的研究和应用

Hermite WENO numerical (HWENO) methods are high order, suitable for solving problems with discontinuous methods which can easily handle complicated geometries. The narrow stencil width maintain the high-order accuracy and two degree of freedom in each grid points are the significant differences between HWENO schemes and WENO schemes. Finite difference HWENO methods have both advantages of WENO methods and compactness in the reconstruction and are now the focus and forefront of research in scientific computing. So far, FD-HWENO method is still not comprehensive, system and the performances of its numerical simulation study is not perfect. This project is devoted to studying high-order finite difference HWENO methods and its performance and perfecting the system of methods. Secondly, we will extend the HWENO method to convection diffusion equations, degenerate parabolic equations and mixed hyperbolic-elliptic systems with an objective of strengthening the performance of our methods and solving more discontinuous problems and its applications. It’s difficult to discrete the mixed derivative terms in the derivative equations. Finally， we extend its three dimensions forms based on the two dimensions process of finite difference HWENO methods. Numerical results will provide to demonstrate the good performance of the methods.

高阶HWENO数值方法因兼有WENO数值方法的精度高、适合处理间断问题、易于处理复杂计算区域以及求解模板更窄(具有紧性)、求解节点的自由度更大等优点，迅速发展成为当今科学计算高分辨方法的研究前沿与热点。但有限差分HWENO数值格式的研究，目前尚不够全面、系统，而且对其数值计算的性质研究也不完善。本项目主要从算法角度，研究有限差分形式高阶精度的HWENO数值方法及性质，完善HWENO数值方法体系。 其次是对此方法的推广和应用，我们将基于我们之前对双曲守恒律提出的HWENO数值方法向多种不同形式的方程进行推广，具体研究方程有对流占优的对流扩散方程、衰减的抛物方程和双曲-椭圆的混合方程等的推广，并系统的推导出求解这些方程的适当的数值格式，推广中的难点是导数方程中交叉项的处理问题。最后是三维数值格式问题，我们将在二维HWENO数值格式的基础之上，直接推导出其三维形式，并就数值计算验证格式的稳定性。

求解双曲守恒律方程的有限差分HWENO方法具有精度高、求解高效、易于处理复杂边界问题等优点。而且在高分辨的数值方法中, HWENO方法不仅承继了WENO方法的优良性质：在解的光滑区域具有一致的高阶精度，在解的间断处保持陡峭的、本质无震荡的过渡；而且求解模板更窄，增加了格式的紧性，求解节点的自由度更大。HWENO方法的这些优点，使得它迅速发展成为计算流体力学的热门方法之一，并推广和应用到了许多其他领域，是当今科学计算高分辨方法的研究前沿与热点。HWENO方法的提出，虽然已经做了一些工作，并且也得到了很好的应用，但主要针对有限体积形式，有限差分及其他形式的HWENO方法研究较少，而且求解的应用范围也很有限，目前，国内外关于该方法的研究工作尚且贫乏，不够全面、系统，而且对其数值计算的性质研究也不完善。因此本项目的研究主要从算法角度具有两方面的意义：一是研究了有限差分形式高阶精度的HWENO数值方法及性质（如对有限差分形式的数值格式研究、及数值通量的选取、理论分析等），完善了HWENO数值方法体系；二是将提出的格式的推广和应用，基于我们之前对双曲守恒律提出的HWENO数值方法用于双曲方程以外工程问题的方程求解。在不同的应用领域中所需要研究的方程各异，而经常碰到的方程求解中的问题是求解过程中出现间断或大梯度问题，HWENO数值方法是处理间断问题的很好的数值方法。考虑到微分方程的求解中，带间断的问题求解比较棘手，一般的高阶格式在处理间断时可能会产生虚假震荡，从而寻求求解这类方程的数值方法吸引了越来越多的科研和工程技术人员。具体研究方程有对流占优的对流扩散方程、衰减的抛物方程，并系统的推导出求解这些方程的适当的数值格式，推广中的难点是导数方程中交叉项的处理问题。最后，并就数值计算验证格式的稳定性和可行性给出数值验证。