同伦范畴的 Gorenstein 同调理论和紧生成性

The purpose of this project is to investigate Gorenstein homological theory in homotopy categories. Firstly, we will study Gorenstein homological properties in homotopy categories and establish some relationships between Gorenstein objects in homotopy categories, the category of complexes and the category of modules. Secondly, the compactly generatedness of Gorenstein subcategories and related subcategories will be considered. Based on this result, on the one hand, the existence of some (pre)covers and (pre)envelopes will be obtained, on the other hand, some recollements and equivalences of categories will be established using some methods such as the Brown Representability Theorem and Thomason Localization Theorem. The study of this project will play an important role in exploring applications of Gorenstein homological theory in homotopy categories and will reveal the differences and relations of homotopy categories and the category of complexes.

本项目拟研究同伦范畴的 Gorenstein 同调理论。首先将研究同伦范畴中的 Gorenstein 同调性质，进而考虑同伦范畴中的 Gorenstein 对象及与复形范畴、模范畴中 Gorenstein 对象之间的联系；其次将考虑同伦范畴中 Gorenstein 对象所构成的子范畴及与之相关子范畴的紧生成性，基于此，一方面证明一些（预）覆盖与（预）包络的存在性，另一方面运用Brown 表示定理和 Thomason 局部化定理等工具在同伦范畴中建立粘合及范畴等价。本研究对于揭示同伦范畴与复形范畴的区别与联系，探索 Gorenstein 同调理论在同伦范畴中的应用具有重要意义。

基于Cartan-Eilenberg复形在复形范畴与同伦范畴中的重要作用，本项目主要研究了Gorenstein同调理论与复形的Cartan-Eilenberg同调性质。主要研究结果如下：（1）借助于Cartan-Eilenberg复形考察了复形范畴中的Gorenstein对象。研究了Cartan-Eilenberg FP-内射复形、Cartan-Eilenberg Ding投射复形，在一定条件下建立了这些复形与其层次模、循环模及边缘模之间的关系。作为应用,借助Cartan-Eilenberg FP-内射复形刻画了凝聚环；建立了Cartan-Eilenberg Ding投射复形与Ding投射复形之间的关系；得到了Ding投射复形、Gorenstein投射与内射复形的新刻画。这些研究为进一步讨论同伦范畴中的Gorenstein同调性质奠定了基础。（2）引入并研究了n-Gorenstein 内射与n-Gorenstein平坦模的概念，证明了当n>1时n-Gorenstein内射与n-Gorenstein平坦模均关于直和与直积封闭，这为进一步探讨相关Gorenstein模类覆盖与包络的存在性提供了条件。（3）通过稳定同调理论研究了复形的Tate同调的vanishing性。作为应用，借助稳定同调和Tate同调刻画了复形的同调维数和环的正则性。（4）在三角范畴中引入并研究了深度的概念，证明了当(R,m)是分次交换Noetherian局部环时，每个上同调有界和上同调有限对象的深度不超过它的维数。（5）研究了FR-内射与FR-平坦模，证明了任意环上每个模有FR-内射覆盖与FR-平坦预包络。讨论了复形的FR-内射维数与FR-平坦维数,借助相应的余挠对得到了两个新的Quillen模型结构。（6）研究了复形范畴中的相对上同调函子，证明了平衡性结果。从而将模范畴中的相关重要结论推广到复形范畴。