复形范畴中的Gorenstein同调维数

本项目研究复形范畴这一比模范畴"更大"的Abel范畴（把模范畴看成是复形范畴的全子范畴）中的Gorenstein同调不变量和性质。经典的同调代数和Gorenstein 同调代数从本质上讲是在模范畴中展开的。而本项目将通过对复形的各种覆盖和包络存在性的考查，研究复形的各种Gorenstein同调维数的性质和联系以及广义Ext 函子和Tor 函子。我们要将复形的Gorenstein同调性质和该复形的所有模的Gorenstein同调性质及复形边缘算子的性质联系起来，从而利用模范畴中的Gorenstein同调理论研究复形范畴中的Gorenstein同调理论。本项目将Gorenstein 同调代数的研究对象从模范畴扩充到复形范畴，对于掌握复形的更多Gorenstein 同调不变量，从而研究环的由复形表述的Gorenstein同调性质，进一步丰富和发展Gorenstein同调代数具有重要的意义。

本项目设定的研究目标是研究复形范畴中的Gorenstein同调不变量和性质。目前研究目标已按计划顺利实现。到目前为止，本项目已公开发表学术论文27篇，其中SCI论文20篇，培养博士生2名，培养硕士生7名，主持召开全国代数学术会议一次。.我们通过对复形的各种覆盖和包络存在性的考查，研究了复形的各种Gorenstein同调维数的性质和联系以及广义Ext函子和Tor函子。我们将复形的Gorenstein同调性质和该复形的所有模的Gorenstein同调性质及复形边缘算子的性质联系起来，从而利用模范畴中的Gorenstein同调理论研究了复形范畴中的Gorenstein同调理论。研究了复形的Gorenstein同调维数，证明了复形C的Gorenstein投射维数等于C的所有层次上模的Gorenstein投射维数的上确界。研究了复形范畴中的模型结构，证明了如果模范畴中的余挠对(A,B)是完全的和遗传的，则它在复形范畴中的两个导出余挠对是完全的，这个结果部分地解决了Gillespie的一个公开问题。证明了若(A，B)是模范畴中的遗传余挠对，则它在复形范畴中的两个导出余挠对的完全性是相互等价的。利用此结论，我们可以得到复形的许多覆盖与包络的存在性条件。证明了左GF-闭环上的复形C是复形范畴中的Gorenstein平坦对象当且仅当X的所有层次上的模是Gorenstein平坦R-模。当R是左GF-闭环时，二次Gorenstein平坦模类和Gorenstein平坦模类是一致的。分别利用Ext函子和Tor函子给出了Gorenstein投射维数、Gorenstein内射维数和Gorenstein平坦维数的等价刻画。证明了在右凝聚环上，所有Gorenstein平坦复形构成的类和它的右正交类构成一个完全的遗传余挠理论。在复形范畴中研究了FP-内射对象和FP-内射覆盖的存在性。研究了相对于对偶模和半对偶模的Gorenstein投射模，Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模及其关系。本项目把Gorenstein 同调代数的研究对象从模范畴扩充到复形范畴，对于掌握复形的更多Gorenstein 同调不变量，从而研究环的由复形表述的Gorenstein同调性质，进一步丰富和发展Gorenstein同调代数具有重要的意义。