奇异摄动问题有限元方法的超逼近性研究

In this project we aim at singularly perturbed problems, analyze supercloseness properties of several finite element methods (standard finite element methods, streamline diffusion finite element methods, continuous interior penalty methods and local L^2 projection stabilization methods etc.) on triangular and rectangular layer-adapted meshes (Shishkin type meshes, Bakhvalov type meshes etc.), construct postprocessing operators and obtain superconvergence results. In this project, we are going to analyze supercloseness properties of several finite element methods using linear elements on triangular layer-adapted meshes, which will improve researches on rectangular layer-adapted meshes. Also, we are going to construct local error estimation expressions for diffusion terms and convection terms with high-order finite elements on triangular meshes. These expressions can promote the superconvergence theory and adaptive finite element methods, which includes the applications of conforming finite elements, non-conforming finite elements and mixed finite elements in fluid, magnetic field and material and so on. Furthermore it will be of great development in the numerical theories of high-order methods for singularly perturbed problems to analyze supercloseness properties of several finite element methods with high-order finite elements on triangular and rectangular layer-adapted meshes.

本项目以奇异摄动问题为研究对象，拟对三角形及矩形层适应网格（包括Shishkin型网格、Bakhvalov型网格等）上几类有限元方法（包括标准有限元方法以及流线扩散方法、连续内部加罚方法和局部L^2投影方法等稳定化有限元方法）的超逼近性进行研究，并应用超逼近性构造后处理算子，进而得到超收敛结果。本项目中，三角形层适应网格上几类有限元方法（利用线性元）超逼近性的研究将改变现有分析局限在矩形层适应网格上的现状；三角形网格上高次元扩散项及对流项局部误差估计式的构造，可大大促进现有超收敛理论及自适应有限元方法的发展，包括协调元、非协调元、混合元在流体、磁场及材料等领域的应用；三角形及矩形层适应网格上几类有限元方法（利用高次元）超逼近性的研究将使得目前奇异摄动领域高阶数值方法的研究取得突破性进展。

稳态奇异摄动问题是科学计算中经典的数学模型，其解往往具有各类边界层。层适应网格（包括Shishkin型网格及Bakhvalov型网格）在科学计算与工程领域被广泛应用于分辨边界层。有限元方法在这些网格上的一致收敛性及超逼近性理论研究还很少，制约了理论发展及工程应用。本项目完善了Shishkin型网格及Bakhvalov型网格上经典有限元方法及各类稳定化有限元方法的一致收敛性及超逼近性理论。不同层适应网格的结构特点（尤其不同类型的过渡点）给有限元方法的收敛性分析带来了截然不同的困难；此外不同有限元方法的特有项，其分析难点也各有不同。本项目利用积分不等式、基于稳定性构造的特定插值算子及抵消技巧，分析了Shishkin型矩形网格及三角形网格上有限元方法及稳定化有限元方法的超逼近性；利用新型Lagrange插值算子证明了Bakhvalov型网格上有限元方法的最优一致收敛性及超逼近性；针对双参数问题证明了Bakhvalov型网格上有限元方法的最优一致收敛性及超逼近性；针对奇异摄动反应扩散方程,借助点边元插值及局部L2投影首次证明了平衡范数下的超逼近性。通过这四年的项目实施，本项目系统建立了经典有限元方法及稳定化有限元方法在层适应网格上的一致收敛性及超逼近性理论，并在该领域取得了一些具有突破性的进展，圆满完成了各项计划和任务。