奇异摄动问题的一致收敛有限元方法研究

四阶椭圆摄动问题主要源于抛物摄动问题的稳态形式，譬如Cahn-Hilliard型方程等，有限元方法是求解该类问题数值解的一种极其重要的方法。该问题当摄动参数很小的时候，退化为一个二阶问题，这就要求构造的有限元方法既满足四阶问题的收敛性条件，又满足二阶问题的收敛性条件，因此构造新的有效的有限元方法是非常有意义的。另一方面目前大多数的研究都还局限在网格剖分满足正则性条件或拟一致假设时，而这种限制严重约束着有限元方法的应用。对于奇异摄动问题, 其解可能在区域的边界层或区域的拐角处呈现各向异性特征，即解可能沿着某个特定方向变化非常剧烈,而其他方向的变化却比较平缓。此时，一个非常自然的想法就是采用各向异性单元来反映这种各向异性特征，即在变化平缓的方向上可以采用较大网格尺寸，此时可以减小计算量。另外，目前大多数的研究都是一维和二维问题，对三维问题的研究也将是非常有意义的。

四阶椭圆摄动问题主要源于抛物摄动问题的稳态形式，譬如Cahn-Hilliard型方程，这类问题在力学、化学、生物等科学领域中都有非常重要的应用. 对于这类问题, 问题的解可能在区域的边界层或区域的拐角处呈现各向异性特征，即解可能沿着某个特定方向变化非常剧烈,而其他方向的变化却比较平缓。如果利用常规的有限元方法，对网格剖分有限制，一般都要求满足正则性条件或拟一致假设，此时会大大的增加计算量。因此，一个非常自然的想法就是采用各向异性单元来反映这种各向异性特征，即在该方向上用较小的网格尺寸，这样可以在保证精确度的基础上减小计算量。本项目主要致力于对四阶奇异摄动问题的各向异性非协调有限元方法的研究，从而丰富该问题的数值解法, 拓宽非协调有限元的研究范围，并为求解这类问题提供理论依据和算法。我们通过应用一些新的技巧给出各向异性网格下两个修正的Morley型非C0非协调矩形元逼近四阶板弯曲问题时的收敛性分析. 我们通过一个反例来说明一个修正的Morley型单元应用到四阶奇异摄动问题时，如果利用标准的有限元离散格式，它和Morley元一样，当ε→0时是不收敛的。同时，在一个新的有限元离散格式下，利用Poincare不等式，对两个修正的矩形Morley元，得到了插值误差估计的一个显式表达式；并利用单元的构造以及线性算子的引入，得到了和正则剖分下完全相同的最优相容误差收敛阶，并给出算例加以验证。利用新的技巧验证了求解四阶板弯曲问题的Morley元的各向异性特征。