粗几何上的算子代数与高阶指标问题

本项目属于基础数学中的"非交换几何"领域, 主要计划研究非紧完备黎曼流形、有限生成离散群的大尺度几何，即粗几何，及其相应的算子代数K-理论与高阶指标问题，其中包括无穷维非正曲率流形的子空间上的粗几何Novikov猜想、离散群或离散度量空间上的指标算子代数的表示理论、离散度量空间到一致凸Banach空间的粗嵌入问题、离散群的Wall群与KK-群的配对及其对微分拓扑中的Novikov猜想的应用、以及对非交换几何中的Baum-Connes猜想的应用等问题。这些研究内容是目前"非交换几何"前沿领域的热点问题，在几何、拓扑、分析等领域具有重要应用。

本项目属于基础数学中的"非交换几何"领域, 主要拟研究非紧完备黎曼流形、有限生成离散群的大尺度几何及其相应的算子代数K-理论与高阶指标问题。本项目完成了预期的主要研究目标，并取得了若干重要成果：（1）引入了度量空间“纤维化粗嵌入Hilbert空间”的概念，证明了任何可纤维化粗嵌入Hilbert空间的度量空间上的“极大粗Baum-Connes猜测”成立，并证明了一大类膨胀图（expander graphs）构成的度量空间可以纤维化粗嵌入Hilbert空间。（2）证明了可粗嵌入具有“性质(H)”的Banach空间的度量空间上的“粗Novikov猜测”成立。（3）证明了可纤维化粗嵌入非正曲率流形的度量空间上的“粗Novikov猜测”成立，并证明了一大类膨胀图空间可以纤维化粗嵌入非正曲率流形。（4）利用纤维化粗嵌入Hilbert空间的概念给出剩余有限离散群的Haagerup性质的几何刻画。（5）刻画了Roe 代数的等度nuclearity性质与秩一致Roe代数的理想结构。（6）刻画了Banach代数动力系统及其交叉积Banach代数的基本性质，同时作为K-理论的推广，引入并刻画了对合代数的Phi-群。（7）用一类典则拓扑空间上的映射同伦类给出K-同调群的表示，并由此刻画了Baum-Connes猜测的障碍群。（8）刻画了Wall群与KK-群的配对及其在Novikov猜测的应用。