粗几何及其在Baum-Connes高指标问题中的应用

The coarse geometry of metric spaces provides many powerful methods to study Baum-Connes higher index problems. In this project, we will study many interested problems in coarse geometry and some applications for higher index problems. The main contents are as follows: We shall study the relations of several asymptotic decomposition properties for metric spaces, and some permanence properties for them. We will study the rigidity of the Roe algebras for the coarse embeddable metric spaces. Compared with the regular representation of groups, we are going to study the regular representation problems for Roe algebras. For metric spaces with isometrical and proper actions, we will study the equivariant higher index theory in the case of non-equivariant coarse embedding. These topics will have many important applications in geometric group theory, operator algebras and non-commutative geometry.

度量空间的粗几何为研究Baum-Connes高指标问题提供了许多有效的方法。本项目主要研究粗几何中的若干热点问题及其在高指标问题中的应用，具体内容包括：研究度量空间的几种渐近分解性质的关系及保持性问题；研究可粗嵌入条件下度量空间的Roe代数的刚性问题；与群的正则表示相类比，考虑Roe代数的正则表示问题；对带有等距、恰当群作用的度量空间，研究非等变粗嵌入情形下的等变高指标问题。这些问题在几何群论、算子代数和非交换几何等领域有重要应用。

高指标问题是非交换几何中的一个中心问题之一，在分析、几何、拓扑和数学物理中有重要的应用。用粗几何的方法研究高指标问题目前十分活跃，已经取得了比较丰富的成果。但是，粗几何中还有一些概念、性质和理论尚不成熟，有待进一步研究。在此背景下，本项目主要研究了粗几何中的一些热点问题以及它们在Baum-Connes高指标问题中的应用，主要内容和结果如下：. 1. 关于等变高指标问题. 对于带有群作用的度量空间，如果商空间和群都可以粗嵌入到Hilbert空间，那么该度量空间上的等变高指标为单射；如果商空间可以群嵌入到Hilbert空间，群具有顺从性质或者a-T-amenable性质，那么该度量空间上的等变高指标为双射。. 2. 关于拟局部代数和渐近膨胀. 结合粗几何和图论的方法，引入了一类渐近膨胀图，并研究了它的分析性质和图论性质，利用这些性质研究了Roe代数的刚性问题。证明了当度量空间具有性质A时，拟局部代数和一致Roe代数是相同的。当底空间具有有限分解复杂度且p不小于1时，证明了局部化代数和L^p-Roe型代数是相同的。. 3. 关于渐近维数和渐近分解性质. 构造了一类度量空间，它的超有限渐近维数和余有限渐近维数相同，均比最小的可数无限序数大1，从而证明了Omega猜想是不对的；构造了具有渐近性质C和有限分解复杂度且渐近维数增长任意大的度量空间，从而表明渐近性质C与有限分解复杂度不能导出次指数渐近增长维数；对于任意给定的可数序数，可以构造一个度量空间，使得它的超有限渐近维数和余有限渐近维数都等于该序数。