微分系统的分支与渐近性态研究

This project is intended to study the bifurcation of limit cycles of planar polynomial systems which is closely related to the Hilbert's 16th problem (second part), and to investigate the bifurcation and global dynamics of high-dimensional differential system. This is the core problem of nonlinear dynamical systems. We will mainly discuss the least upper bound of the number of zeros of Abel integral for the planar Hamiltonian systems of degree greater than four under the small perturbation, study the bifurcations of non-isolated equilibria and global dynamics of three dimensional or more than three dimensional differential systems, and investigate the asymptotic behavior of solutions, the existence, stability and bifurcation of the special solutions for some infinite dimensional nonlinear differential model arising from biology or medicine. These are the hot topics in the field of nonlinear dynamical systems. By performing this project, we hope to add some new results to bifurcation theory of differential system and develop some new methods of solving problem, and provide quantitative and qualitative evidences for understanding the evolution law of some practical problems in the application.

本项目拟研究与Hilbert第16问题紧密相关的平面多项式系统的极限环分支以及高维微分系统的分支和解的全局动力学行为，这是非线性动力系统的核心问题。主要讨论平面上次数大于或等于4的Hamilton系统在多项式小扰动下Abel积分零点个数的最小上界，三维或三维以上微分系统的非孤立平衡点的分支和解的全局动力学性态，以及来自于医学与生态学中的无穷维非线性微分模型解的渐近性态，某些特殊解的存在性、稳定性与分支。这是国际上非线性动力系统研究领域的热门课题，通过研究希望在理论上对微分系统分支理论及其研究方法有所发展和丰富，在应用中能为理解实际问题的演化规律提供定量和定性依据。

本项目研究了与Hilbert第16问题紧密相关的平面多项式系统的极限环分支和高维微分系统的分支与解的全局动力学，以及来自于医学与生态学中的无穷维非线性微分模型解的渐近行为或行波解的存在性及相关性态，发展了相关的数学理论和研究方法，解决或部分回答了几个公开问题， 取得了一些有趣的研究成果，在本项目资助下发表学术论文30篇，其中大多数发表在国际重要学术期刊上，主要成果如下：..1．.与Arnold提出的弱化Hilbert 16问题相关的Abel积分零点个数估计方面，我们对沿亏格为2、次数为6的所有实代数超椭圆闭曲线族的两个超椭圆Abel积分是否具有Chebyshev性质，给出较完整的分类，部分回答了关于超椭圆积分Chebyshev性质问题。对一类具有指数函数积分因子的可积Lienard系统，其在小扰动下伪Abel积分零点个数估计是一个著名的公开问题，我们借助多值Lambert函数性质对这类可积的Lienard系统建立了全局扰动理论，为解决这个公开问题提供了新的理论工具，并用该工具得到近中心点伪Abel积分零点个数估计。.2．.高维微分系统分支问题与全局动力学方面，对一类非稠定域上的半线性柯西问题，首次证明存在参数使得这类半线性方程发生Bogdanov-Takens分支。 对一类竟争三维Lotka-Volterria系统，我们完整地得到该系统的全局动力学行为并给出竞争排斥原理成立的充要条件。.3．.无穷维非线性微分模型方面，对描述非均匀环境下入侵物种动力学的自由边值扩散Logstic模型，我们获得了入侵成功与否的临界判据，给出入侵边界的渐近传播速度，这为预防和阻止生物入侵提供理论依据。对具有非局部扩散和相互作用效应的时滞格上微分方程，我们发展新方法证明其行波解的渐近行为, 单调性和唯一性，完整地回答了前人提出的公开问题。