中立型偏泛函微分方程的分支与渐近传播问题研究

Partial neutral functional differential equaiton, which involves partial functional differential equation as a special case, is one of the research interest in the area of differential equations and dynamical systems. Its bifurcation and spreading theory are far from complete, and are still the active area of concern. The objects that this proposal is about to investigate are two types of partial neutral functional differential equations. For the equation of first type, we will focus on these subjects including: the theory of linear equations, normal form for nonlinear equations, local and global Hopf bifurcations, asymptotic spreading speed and traveling wave solutions, while for the equation of second type, linearized stability of the equilibrium and the Lyapunov criterion for global stability of the equillibrium will be considered. This project will contribute to supply new theory and techniques for related problems on partial neutral functional differential equations, and to provide mathematical basis for studying models in this type arising from other area.

中立型偏泛函微分方程是微分方程与动力系统领域中所感兴趣的研究课题之一，它是比偏泛函微分方程更广泛的一类方程，其相关分支理论与传播理论等还不够完善，是当前研究的热点问题。本项目的研究对象为两类常见的中立型偏泛函微分方程。针对第一类方程的研究内容包括：线性方程的基本理论，非线性方程的规范型理论，局部与全局Hopf分支以及渐近传播速度与行波解等；对于第二类方程，我们将研究平衡点的线性稳定性问题及全局稳定性的Lyapunov函数判别法。本项目的研究将为中立型偏泛函微分方程的研究提供新的理论与研究方法，并为解决一些相关实际问题提供数学理论依据。

本项目主要考虑了一类中立型偏泛函微分方程，和与它密切相关的一类具有记忆效应的种群扩散模型。它们在生物、物理、材料等领域有重要的应用价值。项目主要研究的是这两类方程稳态解的稳定性问题与分支问题，取得的主要结果包括：1)给出了中立型方程的形式伴随理论以及Hopf分支规范型的计算方法；2)在双稳定条件下，证明了中立型方程的渐近传播速度的存在性、以及行波解的存在性与稳定性； 3)证明了一类具有记忆效应的扩散方程的线性稳定性定理，即平衡解的稳定性可完全由其特征值决定；给出了这类方程特征值分布的完整分析，并进一步证明了由Hopf分支导致的空间非齐次周期解的存在性； 4)考虑了边界条件，空间异质因素对记忆扩散方程动力学的影响，证明了这些因素会导致系统的平衡解失稳，从而产生复杂的时空模式，从而揭示了记忆效应对种群扩散的影响； 5)对于一类复杂的超越方程，给出了其分支线分布的所有可能性，以及各类分支线发生的判别方法；6)对于几类具有实际背景意义的模型，例如具年龄结构的种群模型，具时滞的Schnakenberg系统等，详细地分析了它们的动力学行为，包括各类分支以及传播问题。这些研究结果揭示了几类常见类型微分方程的内在联系与本质区别，进一步丰富了微分方程相关理论。