微分方程的定性与稳定性理论

This project is intended to study the classical problems of the qualitative theory and stability of diferential equations: equilibria, limit cycles and global dynamics. We will mainly discuss the discrimination of center or focus for real polynomial systems, and the types of equilibria for complex polynomial differential equations and non-smooth differential systems, study the second part of Hilbert 16th problem and the weaken Hilbert 16th problem, and investigate the existence and stability of the special solutions and global dynamics for some high-dimensional differential systems and infinite dimensional dynamical systems arising from application problems. These are the classical and hot topics in the research field of the qualitative theory and stability of diferential equations. By performing this project, we hope to add some new results and develop some new methods to the qualitative theory and stability of diferential equations, and contribute to the research of the second part of Hilbert 16th problem.

本项目拟研究微分方程定性与稳定性理论的基本问题:奇点、极限环和大范围动力学。主要讨论实多项式系统的中心焦点判定问题、复多项式系统和不光滑系统奇点类型问题、Hilbert第16问题第二部分及其弱化形式、以及来自实际问题中的高维微分系统和无穷维系统的特殊解存在性、稳定性及全局动力学问题。这是国际上微分方程定性与稳定性研究领域经典而热门的课题，通过本项目研究希望对微分系统定性与稳定性理论及其研究方法有所发展与丰富，对Hilbert第16问题的研究有所贡献。

本项目研究了与Hilbert第16问题相关的极限环分支问题，微分系统奇点定性性态判定与分支，有应用背景的不连续或不光滑系统定性分析，以及高维或无穷维动力系统特殊解存在性、稳定性与全局动力学.　在这四方面取得了系列研究成果，发表SCI类学术论文７４篇，解决或部分解决了一些公开问题，受到国际学术同行的关注和引用。具体地，１）　对平面多项式系统含有初等中心的周期环域，其本质扰动能使周期环上分支出极限环个数最多，一个重要问题是如何求本质扰动？我们发现了初等中心的Bautin 理想构成的各奇异退化层出发的单参数弧的集合能构成Nash空间，该系统的本质扰动是由该弧的Nash空间中不可约分支确定，从理论上揭示了本质扰动的几何特征及其计算。对研究平面周期环域分支出极限环常用的两类方法Melnikov函数方法和平均方法我们证明它们本质上是等价的。对具有同宿轨且积分因子有奇性的近可积系统，给出了Melnikov函数在同宿轨附近的渐近展开式，其中有若干项是无界的，这是一个新发现，并获得邻近同宿轨的极限环个数的最小上界。证明了Artés–Llibre–Valls 研究Higgins–Selkov系统和 Selkov系统时提出的关于极限环存在性和唯一性的两个猜想...２）　对几类平面拟齐次多项式系统获得存在中心的充要条件；首次给出半线性偏微分方程发生余维2的尖点分支实例；解决了具有高退化奇点的平面Hamiltonian系统开折的局部分岔问题.３）　发展了不连续或分段光滑系统的定性理论与分支方法.４）　给出新的极值原理，较完整地解决了一类带有扩散与对流的竞争系统的全局动力学；对Bianchi宇宙模型，完整解决了前人遗留的问题；对一类时空滞后的扩散方程，完整解决了对所有允许波速其行波解的唯一性问题。