非局部偏微分方程解的渐近性态研究

The main motivation of this project is to investigate the asymptotic behaviors of solutions to the nonlocal partial differential equations that originate mainly from control theory, anomalous diffusion fluid mechanics and mathematical physical so on. We wish to characterize its new characteristics (to reflect its difference from the classical partial differential equations), to develope the theories of infinite dimensional dynamical system. At first, to consider the existence and regularity of attractors for the nonlocal reaction diffusion equation, then applying with the ideas and methodology developed in nonlinear analysis, partial differential equations and infinite-dimensional dynamical systems, to establish some new framework and methodology which can and will manifest the characters of nonlocal dissipative PDEs and a priori estimates for this kind of partial differential equations, and then apply these theories to study various concrete nonlocal PDEs. At last, we consider the dynamics behavior of nonlocal partial differential equation with noise(Gauss and Levy noise), comparing the difference of properties of the corresponding dynamical systems generated by these two kinds of noise respectively, in particular, consider when noise disappears, the limit behavior of the dynamical system. The results of this project will be challenging and have significant impact on the development of theory of infinite-dimensional dynamical systems.

本项目主要是深入研究来源于控制论、流体力学以及数学物理等领域的非局部偏微分方程解的渐近性态，希望细致刻画其新特性(能够体现其与经典偏微分方程区别的特性），丰富无穷维动力系统的理论。首先，考虑非局部情形下无穷维动力系统经典模型-反应扩散方程的吸引子的存在性以及正则性；其次通过非线性分析、偏微分方程和无穷维动力系统的思想方法的联合运用，建立能反映非局部耗散方程特性的吸引子相关问题的针对性理论框架，探索处理这类方程的先验估计方法，并应用到各种具有实际背景的非局部耗散方程。最后，考虑随机（高斯噪声以及 Levy 噪声）扰动下的非局部偏微分方程，比较两类不同噪声对系统的影响；特别的，考虑当噪声消失时系统的极限行为。这些问题不仅富有挑战性，对发展完善无穷维动力系统吸引子相关理论也有很好的促进作用。

本项目主要致力于通过非线性分析和偏微分方程理论的联合运用细致分析(确定、随机)非局部偏微分方程解的渐近性态，并通过具体问题的研究来启发我们提炼和发展无穷维动力系统吸引子相关理论。.反应扩散方程作为无穷维动力系统领域的基本模型，由于形式简洁，常被研究者用来启发和阐述无穷维动力系统的新概念、新方法。因此，关于非局部反应扩散方程的研究对非局部偏微分方程所对应的无穷维动力系统理论的发展和完善有着强烈的推动作用。我们解决了非局部反应扩散方程的有限维渐近约化问题，给出了观察非局部系统渐近行为的一个新的角度。特别的，我们利用吸引子的存在性(其维数是未知的)给出系统的有限维渐近约化-确定形。到目前为止，关于吸引子的结构分析还没有取得更深层次的突破，这也导致了吸引子应用方面的结果较少。因此，这一主题的相关结果是吸引子应用方面的一个创新，相信我们这方面的工作会吸引更多同行的重视和参与。.对于“一般非局部耗散偏微分方程解的渐近性态”这个主题，我们取得了一些有意义的阶段性成果，如：开展了对非局部非线性耦合系统稳态解的研究，在建立先验估计以及紧性分析的过程中，使得我们对非局部算子的性质有了更深刻的理解；提出了非局部多尺度交通流模型并考虑了解的适定性等。这些结果对我们针对非局部问题建立针对性估计技巧以及紧性分析方法起到了很好的启发作用；也为我们进一步研究非局部发展方程的吸引子存在性、正则性以及结构等提供了必要的前期准备。.随机动力系统的动力学行为提出了自身的、与确定性系统不同的条件和要求，出现了新特性，因此，刻画噪声所引起的动力学行为的变化是随机动力系统领域备受关注的难点问题之一。针对具体的非局部随机快慢系统，我们利用了慢约化系统的动力学性态来描述原系统，在此基础上进一步给出慢流形的逼近，并给出具体的例子及其数值模拟，从直观上体现了噪声对有界区域情形下非局部系统的影响；我们解决了白噪声驱动的Ostrovsky方程解的全局适定性问题，改进了A. de Bouard, A. Debussche and Y. Tsutsumi (J. Funct. Anal. 169(1999) 532-558.)，此外，我们针对具体模型给出了噪声所引起的系统的动力学行为的变化的刻画。这些结果为我们进一步考虑相应的非局部情形提供了必要的技术准备和丰富的素材。