变分重构非结构网格高精度有限体积方法研究

In this project, high order accurate compact reconstruction procedures based on the variational approach for the finite volume methods on the unstructured grids will be proposed in order to provide viable solution strategy for the high order accurate finite volume schemes aiming at the next generation CFD software. 3rd to 6th order finite volume schemes on compact stencil will be constructed. The main bottleneck problem of the existing finite volume schemes is the large stencil required in high order reconstruction procedures, which adversely affected the efficiency, implementation of boundary condition in high accuracy and the robustness of the schemes. The scientific significance of this project is to solve this bottleneck problem effectively by the introduction of the variational reconstruction procedure, which is capable of carry out arbitrarily high order reconstruction on compact stencil. In this project, some key problems, including the construction and optimization of the cost functions, the identification of proper physical constrains and their implementation in the variational reconstructions, and the coupled solution procedure for the variational reconstruction and high order accurate implicit time integration schemes, will be solved to make the resulting algorithms comparing favorably with some popular schemes such as the discontinuous Galerkin and flux reconstruction schemes. The corresponding computer code will be developed, verified and applied to simulate complicated compressible flows with theoretical/engineering importance. This project will finally provide advanced methods for studying flows with complicated geometry and physics.

本项目将提出非结构网格有限体积方法的新型高精度紧致变分重构方法，建立面向新一代CFD软件的非结构网格高精度有限体积方法求解策略，提出非结构网格紧致模板上3-6阶精度的有限体积格式。现有高精度有限体积方法的主要瓶颈问题是进行高阶重构时需要很大重构模板，这使得现有方法并行计算效率较低、难以高精度的实施边界条件、鲁棒性较差。本项目的科学意义在于通过提出变分重构，有效地解决了这一问题，可以在紧致模板上实现任意高阶重构。本项目将重点解决变分重构目标泛函的构造及优化、物理约束的选取及其在变分重构中的实施、变分重构与高精度隐式格式耦合迭代求解等关键问题，使在算法鲁棒性、复杂度等方面优于目前流行的间断伽辽金（DG）、通量重构（FR/CPR）等方法。发展相应的数值计算程序，开展详细的验证研究，并应用于具有理论和实际意义的复杂可压缩流动问题模拟，为具有复杂几何的复杂流动问题研究提供先进有效的手段。

非结构网格高精度数值方法，在提高复杂工程流动问题精细模拟的计算精度和效率方面具有很大的潜力，是计算流体力学的前沿方向。众所周知，非结构网格二阶精度有限体积方法在各类商用和自研CFD软件中得到了广泛应用。当进一步提高精度时，所遇到的主要困难是高阶有限体积方法的重构模板过大的问题。这个问题，成为发展非结构网格高精度有限体积方法的主要技术瓶颈之一。在本项目资助下，我们为了解决这个问题开展了系统的研究。基于首先提出的“操作紧致性”概念，提出了几种紧致模板高精度重构方法，其中变分重构方法具有很大发展潜力，在算法鲁棒性、复杂度等方面优于目前流行的间断伽辽金（DG）、通量重构（FR/CPR）等方法，有可能成为下一代CFD软件的有效算法，达到了本项目的预期目标。主要成果有：. 提出了最小二乘紧致重构和变分重构两种可以在紧致模板上达到任意高阶精度的隐式重构方法及相应的有限体积格式。相比于传统重构和紧致最小二乘重构，变分重构最大的优势是其重构矩阵具有对称正定特性，因此重构矩阵是非奇异的，变分重构有唯一解。另外，变分重构在边界单元上无需降阶，能够达到全场一致高阶精度。. 提出了“重构和时间推进耦合迭代方案”来避免重构迭代造成的额外计算开销，提高基于隐式重构的有限体积方法的计算效率。我们将重构迭代和隐式双时间步法的迭代相耦合，在每个虚拟时间步只进行一次重构迭代。从而使计算开销与传统显式重构方法相当。. 完善了非结构网格高精度有限体积方法求解体系，包括高阶网格变换、基于特征变量的限制器、粘性通量、高阶隐式时间推进等方面。发展了二维和三维复杂流动的数值模拟程序。通过大量的标准和实际数值算例验证了非结构网格紧致高精度有限体积方法的精度、效率和激波捕捉能力，以及相对于二阶有限体积方法的优势。对比较光滑的流动问题的测试结果表明，网格充分加密时，四阶紧致有限体积方法的计算效率可比二阶有限体积方法高几个数量级。