非结构网格有限体积方法及其自适应研究

目前，用非结构网格有限体积方法来求解偏微分方程发展得相当迅速，其主要原因是:非结构网格可以剖分任何复杂的求解区域,而有限体积方法具有有限元方法几何上的灵活性和有限差分方法规定数值流通量的灵活性的优点。但现有的非结构网格有限体积方法对高维情况的研究成果不多，计算效率也有待提高，而且其适用范围主要是流体力学方程。因此，本项目将对以下三部分进行研究：1.针对流体力学方程(主要是双曲型方程)，研究高维情况下的新型非结构网格有限体积方法，使新的方法既有高阶精度，又可以很平稳地过渡激波等间断；2.研究非结构网格的自适应技术以及网格变化时物理量的守恒映射和插值方法，提高计算效率；3.研究图像和图形去噪问题中的二阶和四阶偏微分方程(主要是抛物型方程)的非结构网格有限体积方法和自适应计算，快速达到去噪效果。本项目的研究具有理论和实际意义。

本项目研究非结构网格生成、双曲型守恒律方程的高精度有限体积方法及其在图像处理中的应用。通过三年的研究，课题组在以下几个方面取得重要进展：1、研究保持边界约束的非结构网格生成方法，将阵面推进技术与约束Delaunay三角化结合，提出一种新型的保边界非结构网格生成方法；2、对现有的高分辨率格式及其自适应进行调研，基于Wu’s正定紧支撑径向基函数构造了一类在非结构网格上求解双曲型守恒律方程的ENO型有限体积方法，将其推广到Euler方程的求解，并结合基于弹簧振子的移动网格技术提高精度和计算效率；3、在图像处理方面，提出一种新的基于水平集方法的图像分割模型。从试验分析可以看出，该模型对初始曲线没有要求，水平集函数在迭代过程中不需要重新初始化，收敛速度较以往有了很大提高。此外，课题组还对具有保结构特点的辛几何算法及其应用展开研究，为下一步在新型算法构造和时间离散方面的创新打下基础。