复几何中的若干非线性分析问题

In this project, we study some nonlinear analytic problems in complex geometry and Sasakian geometry, we will focus our research on some degenerate nonlinear elliptic or parabolic partial differential equations and their applications. Firstly, we consider the conical Kahler-Ricci flow and study its convergence properties; secondly, we study the existence problem of approximate Hermitian-Einstein metric on semi-stable Higgs bundle over quasi-projective variety, we consider the asymptotic properties of the Yang-Mills-Higgs flow over quasi-projective variety, and study the relationship between limited Higgs structure and the Harder-Narasimhan filtration of the initial Higgs structure；thirdly， we want to get uniqueness theorem of the canonical metrics in Sasakian geometry, we also study the transverse complex Monge-Ampere equations and the existence problem of Sasakian-Einstein metrics.

本项目主要研究复几何及Sasakian几何中与典则度量有关的几个非线性分析问题，着重于讨论一些退化非线性椭圆、抛物偏微分方程及其在几何中的应用。我们首先考虑凯勒几何中带锥奇点的Kahler-Ricci流，研究该流的相关估计和收敛性问题；在拟射影簇上研究半稳定Higgs丛上渐近Hermitian-Einstein度量的存在性问题，研究拟射影簇上Yang-Mills-Higgs热流的收敛性问题以及该热流的极限Higgs结构与代数几何中初始Higgs丛的Harder-Narasimhan filtration之间的密切联系； 研究Sasakian几何中典则度量的唯一性问题，研究横截复Monge-Ampere方程以及和Sasakian-Einstein度量存在性相关的问题。

近几十年来非线性分析被广泛而深入地应用于整体微分几何、复几何的研究中，取得到了丰富的成果并有着广阔的研究前景。本项目着重于研究非线性椭圆、抛物偏微分方程及其在复几何和Sasakian几何中的应用。项目执行期间我们按照原计划开展以下方面的研究：凯勒几何中带奇点的典则度量和相关热流；Higgs丛上的典则度量和相关热流；Sasakian几何中典则度量的存在性和唯一性问题；复Monge—Ampere 方程的内部正则性估计。我们研究Fano流形上的带锥奇点的Kaehler-Ricci流，建立一致的Perelman型估计，得到相关收敛性结果；研究Higgs丛以及自反层上Hermitian-Yang-Mills热流的收敛性问题，完全解决Bando和萧荫堂于上世纪九十年代提出的相关猜想；利用研究退化非线性椭圆偏微分方程来完全解决具常纯量曲率Sasakian度量的唯一性问题；研究复Monge—Ampere 方程的内部正则性估计，引入新的方法得到内部C^{2, \alpha}估计以及相关Liouville型定理。项目资助四年间我们共发表有项目标注的SCI论文12篇，培养毕业博士生4名、硕士生3名，项目主持人于2016年获国家自然科学基金委杰出青年项目资助，完成原计划的研究目标和预期成果。