复向量丛上的若干几何分析问题

In this project, we study the existence of the canonical metrics on complex vector bundles, the convergence of the related heat flows and some geometric analysis problems in Yang-Mills-Higgs theory. First, we study the existence of the canonical metrics on analytic stable or semistable Higgs bundles over noncompact Gauduchon manifolds. Second, we study the generalized Hitchin-Kobayashi correspondence for semistable parabolic Higgs bundles and holomorphic pairs on quasiprojective manifolds. Then, we study the convergence of the Hermitian-Yang-Mills-Higgs flow on nonstable Higgs sheaves, construct the correspondence between the limiting Higgs sheaf and the Harder-Narasimhan-Seshadri filtration of the initial Higgs sheaf, and obtain the information of the blow up set.

本项目中我们将着重研究复向量丛上典则度量的存在性、相关热流的收敛性以及Yang-Mills-Higgs理论中的一些几何分析问题。首先在一类非紧Gauduchon流形上研究解析稳定或者半稳定希格斯丛上典则度量的存在性；在拟射影流形上研究半稳定抛物希格斯丛和全纯对上更为广泛的Hitchin-Kobayashi对应；研究非稳定希格斯层上的Hermitian-Yang-Mills-Higgs 热流的收敛性，建立其极限希格斯层与代数几何中的Harder-Narasimhan-Seshadri 滤过之间的对应关系，并刻画其blow-up集。

全纯丛上 Hermitian-Einstein 度量(或联络)的研究是几何分析、复几何研究中的一个重要且热门的课题。项目执行以来，我们按照计划开展以下方面的研究：非紧非Kähler流形上Higgs丛上典则度量的存在性方面；非紧Kähler流形上twisted holomorphic chains 上典则度量的存在性方面。项目实施三年间，我们主要取得以下研究成果：研究非紧非Kähler流形上的Higgs 丛，证明一类非紧Gauduchon流形上的解析稳定或半稳定Higgs 丛上存在Hermitian-Einstein度量或渐近Hermitian-Einstein度量；研究非紧Kähler流形上解析半稳定的twisted holomorphic chains，得到了推广的 Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理；研究一类非紧Hermitian流形上的Higgs 丛，在更广泛的情形下求解Hermitian-Einstein方程。我们的上述成果分别发表在Trans. Amer. Math. Soc., Chin. Ann. Math. Ser. B，Ann. Mat. Pura Appl.上。项目执行期间我们共发表有项目标注的SCI论文3篇，完成项目的研究计划和研究目标，取得预期成果。