复几何中若干几何分析问题

本项目主要研究复几何中非紧K?hler流形上全纯向量丛中特殊度量的存在性问题，以及Sasakian几何中的一些几何分析问题。 首先我们讨论在非紧K?hler流形上chain vortex方程，希望得到关于向量丛中满足该方程的度量的存在性。进而在更一般的非K?hler流形上全纯向量丛中求解一类规范方程，得到特殊度量或联络的存在性结果。 另一方面，我们讨论Sasakian几何中的若干几何分析问题，如：Sasakian流形到K?hler流形的特殊映照，常纯量曲率Sasakian度量的刚性定理，eta-Einstein Sasakian度量的紧性定理等。这些研究不仅用到众多的基础数学知识，而且还与理论物理相沟通。这是当前国内外十分活跃的主流数学研究领域之一，对促进我国数学科学的发展有着要意义。

本项目主要研究复几何中非紧Kahler流形上全纯向量丛中特殊度量的存在性问题，以及Sasakian几何中的一些几何分析问题。首先，在非紧Kahler流形上讨论twisted holomorphic chain及其相关的规范方程。我们用热流方法来解一类规范方程的Dirichlet边界问题，得到了非紧Kahler流形上twisted holomorphic chain的Hitchin-Kobayashi对应。进而，讨论在更一般的非Kahler流形上的情况。我们在近Hermitian流形上讨论复向量丛中的Hermitian-Einstein方程的Dirichlet问题，得到了Hermitian-Einstein方程Dirichlet问题的唯一解。另一方面，主要研究Sasakian几何中的能量泛函与典则度量。我们讨论了Sasakian几何中的能量泛函 ，推导出其Euler-Lagrange方程，进而证明其临界度量的唯一性定理。另外还得到了具有常横截曲率的Sasakian度量的唯一性结论。以上我们的结果涉及微分几何、复几何等理论，有着一定的研究意义。在项目资助期间我们共完成论文7篇，发表论文7篇，6篇SCI收录，1篇EI收录。