非线性偏微分方程及其在复几何中的若干应用

本项目主要研究复Monge-Ampere方程及其在复几何、Sasakian几何中的应用，以及全纯丛上典则度量的存在性和相关热流问题。我们首先通过讨论复Monge-Ampere方程特别是一些非典型复Monge-Ampere方程的正则性和解的存在性，来研究非紧完备Kahler-Einstein度量、以及Sasakian几何中典则度量的存在性、唯一性问题；同时我们也研究殆复流形上广义复Monge-Ampere方程的正则性理论，并导出其几何应用。另外我们还研究全纯向量丛上典则度量结构的存在性问题，特别是非紧情形Hitchin-Kobayashi对应的推广；我们也讨论Higgs丛上Yang-Mills-Higgs能量泛函的梯度流，研究该热流的收敛性问题，并在高维情形给出其blow-up集较好的几何刻画。

本项目主要研究非线性偏微分方程正则性理论及其在复几何、Sasakian几何中的应用。具体研究成果如下：（1）在复Monge-Ampere方程方面，我们研究复Monge-Ampere方程的正则性问题，研究一类褪化的复Monge-Ampere方程并将其与Sasakian度量空间的测地线方程联系起来，我们得到方程弱解的正则性结果作为几何应用我们得到特殊Sasakian度量的唯一性结果；（2）在Higgs丛上研究典则度量及相关热流方程，在半稳定Higgs丛上证明渐近Hremitian-Einstein度量的存在性结果，在高维情形研究Yang-Mills-Higgs热流的收敛性问题，证明该热流的极限必同构于对应初始Higgs对的Harder-Narashimhan-seshadri分解；（3）Sasakian-Einstein度量的存在性问题，证明Sasakian-Einstein度量的存在性和某类能量泛函的正则性存在密切联系；（4）研究推广的Kahler-Einstein度量的存在性问题，在扰动项是拟正定的假设下，证明推广的Kahler-Einstein度量存在性和能量泛函的正则性是等价的。我们的研究结果涉及微分几何、复几何、代数几何、Yang-Mills-Higgs理论，有着一定的理论研究意义和应用价值。在项目资助期间我们共完成学术论文八篇，已发表论文6篇，其中6篇SCI收入，完成原计划中的研究目标。