几类微分方程的保结构算法研究

In this project, we study the structure-preserving algorithm for some different types of differential equations. The contents of the project are as follows: .a) Energy-conserving methods for non-conservative perturbation of conservative system are studied. Numerical methods that can preserve the energy variation of the system are studied. Especially, for second-order oscillatory weak dissipative Hamiltonian PDEs, under different boundary conditions, energy-preserving schemes that can preserve the oscillatory structure and energy dissipation behavior of the system are concerned. .b) For Bi-Hamiltonian system, the system can be presented by two different types of Hamiltonian forms, which means it has two conserved energy. Therefore we study numerical methods that can simultaneously preserve two energy of different Hamiltonian forms..c) We first consider the open problem left in [E. Hairer, A. Iserles, Numerical stability in the presence of variable coefficients, Found Comput. Math., 2015]: given a space mesh grid, the existence and construction of high-order (p>2) banded skew-symmetric matrix approximation for first order space derivative is thoroughly discussed and analyzed(only the case p=2 is considered inthe paper by E. Hairer, A. Iserles). This type of approximation is important for the numerical stability of semi-discretization of partial differential equations. Then combining the high-order banded skew-symmetric matrix approximation for first order space derivative with ERKN method, a new high-order stable scheme is presented for one-dimension oscillatory wave equation. Moreover, using the idea of alternative direction, the numerical scheme is extended to high-dimension case.

本项目研究几类微分方程的保结构算法。主要内容有：.a) 针对扰动守恒系统，研究能够保持系统能量变化趋势的保能量算法。特别地，针对二阶弱耗散哈密尔顿偏微分方程，在不同边界条件下，研究同时保持系统振荡结构及能量耗散结构的算法。b)对于Bi-Hamiltonian系统，系统有两种哈密尔顿形式，也就是说系统具有两个守恒能量。因此我们研究可以同时保持系统两个哈密尔顿形式下能量守恒的数值算法。c) 研究文献 [ E. Hairer, A. Iserles, Found Comput. Math. 2015] 结论部分给出的开放性问题：给定任意一个空间网格划分，一阶空间导数的高阶 (p>2) 带状反对称矩阵近似的存在性和构造等问题(文献只考虑了p=2的情况)。利用空间一阶导数的带状反对称矩阵近似，结合ERKN方法给出求解一维振荡波方程的高阶稳定数值方法，并利用交替方向思想将新的格式推广至高维振荡波方程。

本项目研究几类微分方程的保结构算法(即几何数值积分)，并应用于线性方程组求解。 所关心的系统结构包括振荡性、能量守恒性、耗散型等。数值方法在保持系能量的同时， 更关键的是适应系统的主振荡结构，并具有好的稳定性。求解二阶振荡微分方程的ARKN，ERKN方法 中涉及矩阵值函数的计算，本研究给出了一类高效高精度求解矩阵值函数的算法。 针对变系数的齐次/非齐次线性波动方程，构造了不依赖于方程维数的解的紧凑格式，并讨论了一类特殊变系数波动方程解的存在唯一性。针对系统右端函数含有阻尼项的二阶振荡常微分方程，研究得到了一个新的测试方程，给出了新的色散耗散定义，在处理振荡微分方程时，能对格式的有效性有更深刻的理解。本研究同时证明了在给定网格下，微分方程中的空间一阶导数项任意高阶反对称微分矩阵的存在性，此高阶反对称微分矩阵离散对保持数值格式的稳定性具有重要的意义。本研究还保能量算法，指数型离散梯度方法及离散梯度方法，利用动力系统方法给出了一类求解大型稀疏矩阵和病态线性方程组的迭代求解格式。