几类延迟微分方程新的保稳定算法及其应用

The purpose of this project is to expand the numerical algorithms for delay problems, develop the theory on high-precision stability preserving numerical algorithms for delay problems and promote the application of the relevant algorithms. It mainly includes the following: 1) Noting that discontinuities may occur in general Delay problems, it is reasonable to introduce the Discontinuous Galerkin method and study the method's delay-dependent stability, convergence or superconvergence for delay problems; 2) We are interested in the dynamical properties of several types of partial differential equations with delay. Moreover, based on the theoretical results, we will investigate some high-precision energy-stability-preserving numerical algorithms for the problems; 3) We will further study some high-precision stability-preserving numerical algorithms for delay integral-differential equations and their applications to delay models. These studies not only can promote the development in numerical methods for the delay problems, but also can be applied in fields of computational biology，physical chemistry, automatic control and other related areas.

本项目旨在拓展延迟问题的数值算法，丰富和发展延迟问题的高精度保稳定性算法的理论，并推广相关算法的应用。主要内容包括以下几个方面：(1)针对延迟常微分方程，特别是中立型延迟微分方程的解析解一般不光滑的特点，引入间断有限元方法，研究这类方法的延迟依赖稳定性、收敛性甚至超收敛性等；(2)探讨几类延迟偏微分方程动力学性质，在相关理论结果的基础上，积极推进相关长时间保能量稳定或者收缩算法的研究；(3) 深入分析中立型积分微分方程的高精度保稳定性算法，以及该算法在延迟偏微分方程中的运用。这些研究不仅将进一步将促进延迟领域算法的发展，而且为计算生物、物理化学、自动控制等工程应用领域提供新的方法和理论依据。

本项目主要研究和探讨延迟微分方程的相关数值算法。我们考虑了连续系统基于延迟依赖的稳定性理论，在此基础上发展和丰富延迟问题的高精度保稳定性算法及其理论，并推广相关算法的应用。主要成果有：1）通过扰动方法和w变换，获得两类高阶的保延迟依赖稳定的Gauss方法和Radau方法， 并分析了方法的阶条件。.2）将DG方法引入到求解延迟微分方程，在解有一定不连续的情况下，获得了区间最大的误差估计。3） 研究了几类延迟偏微分方程的吸引子，稳定性等动力学性质，.并在此基础上，初步讨论了基于延迟依赖的数值算法的延迟动力学性质。4）分析了几类全离散后的偏微分方程的结构，在此基础上，提出了一种新的分裂迭代算法。.这些研究为计算物理、自动控制等工程应用领域提供了一些新的方法和一定的理论依据。