几何设计中的几何偏微分方程方法及其应用

在本申请项目中,我们拟研究几何设计中几何偏微分方程方法及其应用。研究内容包括三个方面:1.构造满足实际问题需要的连续的或离散的几何偏微分方程；2.对相应的几何偏微分方程进行数值求解；3.研究几何偏微分方程在若干领域的应用。我们拟分别从连续的和离散的能量出发构造几何偏微分方程,将传统的有限元、有限差分、有限体积等方法推广到一般流形上来求解偏微分方程，其中要考虑几何微分算子的离散化，离散微分算子的收敛性，数值求解方法的收敛性、稳定性与误差估计等问题。由于几何偏微分方程构造的曲面具有很好的光滑性，我们将创立高阶水平集方法来处理隐式曲面问题。在应用方面，我们将对不同领域的相关问题进行几何化后再利用几何偏微分方程来统一处理并进行数值实验与模拟。应用的领域包括计算机辅助几何设计与图象处理以及生物学、物理、化学等其他领域的几个相关问题。